Учебное пособие 410
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
Строительно-политехнический колледж
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для практических и самостоятельных работ по математике для студентов 1-го и 2-гокурса всех специальностей
Воронеж 2020
УДК 512(07) ББК 22.1я7
Составители:
Ю.В. Черная,С. Л. Рыбина, И. И. Корчагин
В.И. Маслова, З. И. Шахбазова, Н. В. Федотова
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ: методические указания для практических и самостоятельных работ по математике для студентов 1-го и 2-гокурса всех специальностей/ ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: Ю. В. Черная, С. Л. Рыбина, И. И. Корчагин [и др.]. - Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2020. - 15 с.
Приводятся теоретические сведения по теории пределов и непрерывности функции, приведены примеры вычисления пределов, нахождения и классификации точек разрыва функции, даны задания для самостоятельной работы. Могут использоваться для разработки индивидуальных проектов и для подготовки к сдаче ЕГЭ.
Предназначены для самостоятельной работы по дисциплине «Математика» для студентов 1-го и 2-го курса.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле МУ ЛРУ(2) pdf.
УДК 512(07) ББК 22.1я7
Рецензент – М. Ю. Глазкова, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры прикладной математики и механики ВГТУ
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
2
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания предназначены для студентов 1-2 курсов Строительно-политехнического колледжа всех специальностей в освоении методов нахождения пределов функций и исследования функций на непрерывность. Сообщаются основные определения и теоремы теории пределов и непрерывности функции, методы вычисления пределов функций, нахождения и классификации точек разрыва функций, приводятся примеры решения практических задач. Методические указания содержат задания для проведения практических занятий и самостоятельной работы и могут использоваться для разработки индивидуальных проектов, а также для подготовки к сдаче ЕГЭ.
Общие положения
Самостоятельная работа студентов представляет собой работу, которую выполняют студенты по заданию и под руководством преподавателя без его непосредственного участия.
Целям и задачами самостоятельной работы студентов являются систематизация и закрепление знаний, умений и навыков, полученных в ходе практических занятий; формирование умений работать со специальной и справочной литературой, а также с Интернет-ресурсами; формирование самостоятельности мышления, стремления к самосовершенствованию и самореализации; формирование и развитие общих компетенций и подготовка к формированию профессиональных компетенций согласно ФГОС СПО; овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности; развитие исследовательских умений.
3
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение предела
Определение 1: Функция y=f(x) имеет предел А при х→х0, если при приближении х к х0 значение функции f(x) подходит как угодно близко к числу
А: |
lim = |
|
х→х |
Читается: предел f(x) при х стремящемся к x0 равен A.
Определение 2: Число А называется пределом функции y=f(х) при х стремящемся к x0, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ(ε)>0, что для всех х таких, что 0<|х-x0|<δ выполняется неравенство
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|f(x) - A|<ε |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теоремы о пределах |
limх→х |
|
|
|||||||
пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limх→х |
и |
, то существуют |
||||||
Если существуют конечные пределы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. |
limх→х |
|
±lim |
|
|
|
= limх→х |
± limх→х |
|
|
||||||||||||
|
limх→х |
∙ |
|
х→х |
|
|
|
|
|
∙ limх→х |
|
|
|
|||||||||
2. |
|
|
|
= limх→х |
|
|
||||||||||||||||
3. |
limх→х |
|
|
= |
|
х→х |
|
|
, |
|
≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
х→х |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
limх→х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
С = С, |
|
= С limх→х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
limх→х |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
где С – const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
limх→х |
|
|
= limх→х |
|
х→х |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление пределов |
|
|
|||||||
|
Пример 1. |
|
|
|
|
lim 5х + 3х − 4 = 5 ∙ 2 |
+ 3 ∙ 2 − 4 = 22 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 2. |
|
|
|
|
х→ |
|
|
|
х |
− 1 |
|
7 |
|
|
2 |
− 1 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= |
7 |
= 0 |
|
|
|
|
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→( х − 2х − 1 |
|
∞ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
х |
,−2 |
|
= −2 |
= ∞ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→+ |
+ 3х |
|
0 |
|
|
|
|
Здесь под записью −02 подразумевается деление на бесконечно малое число.
4
При нахождении предела функции часто подстановка предельного значе- |
||
ния аргумента приводит к неопределенным выражениям вида -+. , -(. , |
/∞ − |
|
∞, 1∞ |
и др. Нахождение предела функций в таких случаях называют+ ( |
рас- |
|
крытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности прежде, чем перейти к пределу, производят преобразование выражения под знаком предела.
Пример 4. lim х |
− 6х + 8 |
= 4 |
− 6 ∙ 4 + 8 |
= 304 = |
|
При х=4 имеем |
х |
− 5х + 4 |
4 |
− 5 ∙ 4 + 4 |
0 |
х→, |
|
|
|
|
|
неопределенность. В подобных случаях, когда в числителе и знаменателе многочлены обращаются при х=а в нули, их необходимо со-
= lim х − 2 |
х − 4 |
= lim х − 2 |
= 2 |
кратить на (х-а) после предварительного разложения на множители: |
|||
х→, х − 1 |
х − 4 |
х→, х − 1 |
3 |
1. Задачи на нахождение пределов от дробно-рациональных функций при неопределенности вида -55.
|
limх→ |
х8 |
|
|
|
|
|
limх→, |
х8, |
|
1. |
limх→ |
6х789х8 |
|
|
|
7. |
|
limх→; |
х78?х: + |
|
|
х786х: |
|
|
|
|
|
х78=х:; |
|||
2. |
limх→, |
х789х:; |
|
|
|
8. |
|
|
х78@ х:6; |
|
|
х7:х |
|
|
|
|
|
limх→8@ х:@ |
|||
3. |
limх→8 |
х<8х7: х |
|
|
|
9. |
|
limх→а |
х<:@ |
|
|
х: |
|
|
|
|
|
х<8а< |
|||
4. |
limх→8 |
х7 |
8, |
|
|
|
10. |
|
хB8аB |
|
|
х< |
8 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
limх→ |
68х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х78;х:> |
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
|
х8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. |
2х2 |
− 3х − |
25 |
|
∞ = |
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
|
|
||||
|
|
|
lim 1 + х + 3х |
|
|
-∞. |
|
|
|
|
|
|
|
х→∞ |
|
|
|
|
|
∞ , необходимо разделить |
|
Для того, чтобы раскрыть неопределенность |
|
|||||||||
числитель и знаменатель на х в старшей степени. |
-∞. |
|
Разделим числитель и знаменатель на х2:
5
Пример 6. |
|
, |
|
|
|
х, |
2х |
|
|
|
|
2 |
|
|
lim х |
|
− 2х |
= -∞. = lim х, |
− х, |
= lim |
1 − х6 |
= 1 = ∞ |
|||||||
х→( х − 1 |
∞ |
х→( х |
1 |
|
х→( 1 |
1 |
0 |
|
||||||
|
6 |
|
|
|
х6 |
3х |
|
|
х |
1 |
3 |
|
|
|
Пример 7. |
|
|
|
|
|
х, |
− х, |
|
|
|
− х, |
|
|
|
lim х |
|
|
9− 3х |
= -∞. = lim |
х99− х9 |
|
= lim х |
− х, = 0 |
= 0 |
|||||
х→( 5х |
+ 7 |
∞ |
х→( 5х |
7 |
|
х→( |
|
7 |
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
х9 |
+ х9 |
|
|
5 + х9 |
|
|
2. Задачи на нахождение пределов от дробно-рациональных функций при неопределенности вида -((.
1. |
limх→( |
х789х:; |
|
|
|
4. |
limх→( |
х<8@ х:6; |
||||
х786х: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
86х< |
8=х:; |
||||||
2. |
limх→( |
х7 |
:6 |
|
|
|
5. |
limх→( |
х<8@ |
|
||
|
хC8х7 |
|
|
|
|
|
||||||
|
limх→( |
< |
7 |
|
|
|
6. |
limх→( |
х:@ |
|
||
3. |
хD:6х |
|
|
|
|
9х8, |
|
|||||
|
х 8х :=х |
х |
= |
0 |
|
|
|
∙9 |
|
|||
Пример 8. |
|
lim |
|
|
= 304 = |
|
||||||
|
|
|
|
х→+ |
√1 + х − 1 |
|
√1 + 0 − 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
иррациональности в знамена- |
|||||
Раскроем неопределенность. Избавимся от |
|
|
0 |
|
|
теле дроби, для чего домножим знаменатель и числитель на выражение, сопряженное знаменателю (дополняющее иррациональное выражение до полного
lim |
х √1 + х + 1 |
= lim х √1 + х + 1 |
= lim х √1 + х + 1 = |
||||||||
квадрата, куба и пр.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х→+ √1 + х − 1 |
√1 + х + 1 |
х→+ |
√1 + х − 1 |
х→+ |
1 + х − 1 |
||||||
|
= lim х √1 + х + 1 = lim √1 + х + 1 |
= √1 + 0 + 1 = 2 |
|||||||||
|
х→+ |
|
х |
х→+ |
|
8 − 8 |
|
0 |
|
|
|
Пример 9. |
|
х6 − 8 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
lim |
х − 2 |
= |
2 − 2 |
= |
3 4 = |
|
|
|
|
|
|
х→ |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
= lim х − 2 х + 2х + 4 |
= = lim х |
+ 2х + 4 = 12 |
||||||||
|
х→ |
|
х − 2 |
|
|
х→ |
|
|
|
|
|
3. Задачи на нахождение пределов от иррациональных функций |
|||||||||||
|
limх→+ √,:х8 |
|
при неопределенности вида -55. |
|
68х |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
limх→6 |
|
|||
1. |
х |
|
|
|
|
|
2. |
|
|
√6: х86 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
limх→9 |
|
8√х8@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limх→@; |
√х8 |
|
||||||
3. |
|
|
|
х78 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
х→, |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limх→ = |
√х8, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
< |
|
|
||||||||||
lim |
|
х8√6х:, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х8 = |
|
||||||
|
|
|
@;8х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√х86 |
|
||
|
|
|
|
|
Первый замечательный предел |
|
|
|
|
|||||||||||||||
При вычислении пределов тригонометрических функций часто использу- |
||||||||||||||||||||||||
ется формула |
limF→+ G FH F |
= 1, |
которая |
называется первым замечательным |
||||||||||||||||||||
пределом и позволяет раскрывать неопределенности вида -++.. |
|
|||||||||||||||||||||||
lim sin 3х |
= sin 0 = 304 = − 1 lim 3sin 3х |
= − 3 lim sin 3х = − 3 ∙ 1 = − 3 |
||||||||||||||||||||||
Пример 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х→+ |
−2х |
|
|
0 |
|
0 |
2 х→+ 3х |
|
|
2 х→+ |
|
3х |
|
2 |
2 |
|||||||||
Пример 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ K |
|
sin |
|
− K |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
lim sin х − sin K = lim 2cos |
2 |
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
х→а |
|
|
− K |
|
|
х→а |
|
|
|
− K |
|
− K |
|
|
|
|||||
= lim cos |
+ K ∙ lim |
2 sin |
− K |
= cos K + K ∙ lim sin |
|
= cos K ∙ 1 = cos K |
||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
х→а |
|
2 |
|
х→а |
|
− K |
|
|
|
2 |
|
х→а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− K |
|
|
|
|
||||||
|
|
4. Задачи на нахождение пределов с помощью |
|
|||||||||||||||||||||
|
limх→+ G H х |
первого замечательного предела |
х8U |
|
||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
limх→U |
|
|||||||||||
limх→+ |
|
,х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G H х |
|
||||||
2. |
NO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
limх→@ |
V 7х8@ |
|
|||||||||
3. |
limх→@ |
G H х8@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
8@ |
|
|
|||||||
|
|
@8х |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
PQR |
|
|||||
4. |
limх→+ |
G H х G H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limх→B |
G H 8STG |
|
||||||||
|
|
9х7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
limх→+ |
|
х7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
PQR х8STG 6х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Второй замечательный предел |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вторым замечательным пределом называется[ |
предел вида |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
X1 + FY |
|
= lim |
|
1 + Z |
|
|
= ] |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
F→±( |
|
@ |
F |
F→+ |
|
|
|
\ |
|
|
|
, e=2,71828…, |
|
|||||||
с помощью которого можно раскрывать неопределенность вида /1(^. |
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 12. |
|
|
lim |
1 + 3 = |
/1(^ = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем предел ко второму замечательному. Преобразуем степень:
7
lim |
|
6 |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
` |
; |
= ]; |
||||||||
1 + 3 6∙ |
|
_ 1 + 3 6 |
` |
|
_ 1 + 3 6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
→( |
|
|
|
|
|
|
|
→( |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
→( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 13. |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
:6 = /1(^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
→( |
|
|
= |
3 + 2 + |
−2 |
|
= 1 + −2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= 3 + 2 − 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Преобразуем выражение |
под знаком предела: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пусть |
3 + 2 |
. |
|
|
3 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
3 |
+ 2 |
3 + 2 |
|
|
3 |
|
+ 2 |
|
||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
+ 2 O = −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Выразим6 :x:= O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 O + 2O = −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 O = −2O − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
−2O |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3O |
|
3O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a → 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выразим |
|
|
при |
b → ∞ |
|
|
− 3O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 = −2 |
− 2 + 3 = 7 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
степень через t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:6 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к пределу по |
переменной t: |
|
3 |
3O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3O |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 1 + O |
686V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
→( |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
V→+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
По свойству степеней:3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= lim 1 + O |
@ |
6 |
∙ 1 + O |
= ]6 |
|
= ]6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
V |
6 |
∙ 16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V→+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5. Задачи на нахождение пределов с помощью |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
второго замечательного предела |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
lim →+ 1 + 3 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
6 : |
|
|
|
89 |
|
|
||||||||
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim →( X6 86Y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
lim →+ 1 − 2 |
|
7 |
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim →( X :@89Y |
8@ |
|
|
|
||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
lim →+ 1 + def |
|
<c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim →( X :6Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim →( X99 :8;Y |
c |
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
lim →( X 89:9Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.lim →( X1 + |
:@@ Y |
|
|
− gf |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim →( |
gf |
|
+ 1 |
8
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА
Непрерывность функций. Точки разрыва
Определение 1: Функция y=f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только
тогда, когда |
limх→х 8+ = lim = + , |
||
х→х 8+ |
х→х :+ |
х→х :+ |
|
– односторонние пределы (левосторонний и пра- |
|||
где lim |
и lim |
восторонний соответственно).
Пример 1.
Рассмотрим рис. 1. Если приближаться по оси Ох к точке k слева (х→k-
0), то соответствующие значения у будут стремиться по оси Оу к точке m. Запишем левосторонний предел:
Рис. 1. Непрерывная функция
При приближении к точке k справа (х→k+0), у также стремится к значению m. Запишем правосторонний предел:
Значение функции в самой точке k равно m: f(k)=m, следовательно, выполнены все условия непрерывности функции в точке:
1)функция определена в точке k, то есть существует значение f(k);
2)односторонние пределы конечны и равны;
3)существует общий предел функции в точке k, равный значению
функции в этой точке .
Определение 2. Функция y=f(x) непрерывна на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке данного интервала.
9
Определение 3. Если функция y=f(x) в точке х0 не является непрерывной, то она называется разрывной в точке х0, а точка х0 – точкой разрыва
функции.
Классификация точек разрыва
Определение 4. Точкой разрыва первого рода называют такую точку х0 разрыва функции, в которой существуют и конечны оба односторонних
предела этой функции. |
0 |
|
устранимого |
|
lim |
х→х 8+ |
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение 5. Если |
|
выполняется |
условие |
|
|
||||
limх→х0+0 ≠ 0 |
, то точка х |
|
– точка |
|
|
разрыва. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Исследовать функцию h = G H на непрерывность, найти точки разрыва, классифицировать их.
Рис. 2. Точка устранимого разрыва
Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки х=0. Функция не определена в точке х=0, а значит, терпит разрыв в данной точке.
Односторонние пределы в этой точке существуют и равны:
, но не равны значению функции в точке х=0. Следовательно, в точке х=0 функция претерпевает устранимый разрыв. «Устрани-
мый», т.к. возможно доопределить функцию в данной точке и устранить разрыв, например, таким образом:
Определение 6. Если выполняется условие |
|
х→х 8+ |
|
|
||
limх→х0+0 ≠ 0 |
|
разрыва. В точке х |
|
|||
|
, то точка х0 – точка неустранимого |
|
lim |
|
≠ |
0 |
функция терпит разрыв первого рода со скачком.
Пример 3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, классифицировать их.
10