Методическое пособие 659

Умножим обе части уравнения (4.44) на d–1:

Эти уравнения совпадают с уравнениями (4.20) для эта-

лонных процессов qjэ(t) qзад j, которые определяют требуемую динамику проектируемой системы.

Полученный результат позволяет сделать два заключения, имеющих практическое значение:

1. При неограниченном увеличении числовых значений

диагональных элементов jj матрицы коэффициентов усиления в алгоритме управления по ускорениям (4.32) уравнения (4.39) замкнутой системы порядка 3n переходят в n независимых уравнений (4.46) второго порядка, определяющих

эталонные процессы qjэ(t) qзадj по каждой степени подвижности. Следовательно, алгоритм управления по ускорению

реализует в асимптотике ( jj ) предписанные движения многомерной системы. Так как величины jj характеризуют уровень усиления в контурах ускорения и их быстродействие, то требуемая степень приближения управляемых процессов

qj(t) qзадj к эталонным qjэ(t) qзадj достигается при конечных значениях jj.

2. Контуры управления по ускорению по каждой степени подвижности можно строить независимо один от другого в соответствии с уравнениями (4.31) или в интегральной форме (4.33). Назначенные динамические свойства проектируемой

системы достигаются при диагональной матрице = diag{ jj} в алгоритме (4.32) или (4.34).

Выполненный анализ можно аналогичным образом провести применительно к системе, алгоритм которой синтезирован с учетом инерционности электрических процессов в якорных цепях исполнительных двигателей постоянного тока

(Tэj 0). В результате можно показать, что при неограничен-

90

ном увеличении диагональных элементов kjj матрицы k=diag{kjj} в алгоритме (4.24) процессы в замкнутой системе будут описываться n независимыми уравнениями второго по-

рядка по каждой степени подвижности. Причем при kjj

справедливо qj(t) qjэ (t).

Для полной модели (Tэj 0) контуры управления ускорениями также следует формировать независимо по каждой

управляемой координате. Требуемые ускорения jэ и управляющие напряжения Uj определяются из уравнений системы

(4.28).

Применение алгоритма управления по ускорению связано с необходимостью расчета 3n параметров. Из них 2n пара-

метров – коэффициенты j1 и j0 усиления внешних контуров и n параметров – коэффициенты jj усиления контуров уско-

рения. Расчет j1 и j0 выполняется по формулам (4.22) в соответствии с заданным качеством переходных процессов. Получим выражение для определения числовых значений пара-

метров jj.

Запишем уравнения замкнутой системы в следующем

Далее нам потребуются уравнения, записанные в координатной форме:

91

Исходя из (4.48), получим уравнения для контуров ускорений. Для этого необходимо исключить из (4.48) управляющее напряжение Uj. Дифференцируя по времени первое уравнение и подставляя затем в полученное равенство выражение

для U j из второго уравнения, получим следующее выражение:

компоненты, которые выступают в роли внешних воздействий для контура ускорения.

Формула (4.53) получена с учетом взаимного влияния степеней подвижности. Если это влияние не учитывать

92

( jj(q,q) = 0), то постоянные времени контуров ускорения вычисляются по формулам

Числовые значения jj определяются из условия, что максимальная постоянная времени контура ускорения на порядок меньше Tj :

Возможность определения коэффициентов усиления jj по упрощенному выражению (4.56) обусловлена тем, что системы, управляемые по ускорению, малочувствительны к параметрическим и координатным возмущениям.

На основании вышесказанного порядок расчета параметров алгоритмов управления следующий.

1. Определить для заданных параметров манипуляционной системы с учетом инерционно-массовых характеристик наименьшую достижимую длительность tj переходного про-

цесса qj(t) qзадj, причем tj > 3Tmj, где Tmj определяется из выражения (4.23).

2. Вычислить по формулам (4.22) коэффициенты j1 иj0 усиления внешних контуров.

3. Найти наибольшие значения диагональных элементов

~ ~

Аj j (q) матрицы А(q) и по формуле (4.56) вычислить коэф-

фициенты усиления jj контуров ускорений.

93

Далее рассмотрим синтез алгоритмов управления по ускорению применительно к позиционному управлению движением трехкоординатных манипуляторов, работающих в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

4.4.Позиционное управление манипулятором

вдекартовой системе координат

Уравнения движения рассматриваемого трехкоординатного манипулятора имеют вид (1.15), при этом с учетом (4.9), (4.14) и (4.20) получим

Задачу синтеза алгоритма позиционного управления сформулируем следующим образом.

94

Синтезируемый алгоритм управления должен обеспечивать перевод механизма из начального состояния

в назначенное состояние, которое соответствует неподвижной точке (xзад1, xзад2, xзад3)т. Необходимо при этом, чтобы переход-

0

Структурная схема одного из каналов системы управления трехкоординатным манипулятором, соответствующая (4.63) и (4.64), приведена на рис. 4.6. Два других канала системы управления имеют идентичную структуру. Коэффици-

Рис. 4.6. Структурная схема канала системы управления манипулятором, работающего в декартовой системе координат

95

Система независимых уравнений (4.59) с учетом (4.62), (4.63) при неограниченном возрастании j преобразуется в три уравнения, совпадающие с соответствующими уравнениями (4.61). Требуемая степень приближения управляемых процессов к эталонным может быть достигнута при конечных значениях коэффициентов усиления j.

Постоянные времени контуров ускорения вычисляются в соответствии с (4.54) по формулам

~

Та j Rj Аj , j = 1, 2, ..., n. (4.65)

njkmj ( jjhj +kejnj )

Коэффициенты усиления j определяются из уравнения

Из (4.66) следует расчетная формула для определения

коэффициентов усиления контуров ускорения

~

j (5 10) Rj Аj kejnj . (4.67)

Тjnjkmjhj hj

4.5.Позиционное управление манипулятором

вцилиндрической системе координат

Уравнения динамики рассматриваемого трехкоординатного манипулятора получены в разделе 1.3 в виде (1.29). С учетом (4.12), (4.18) запишем их следующим образом:

96

С учетом принятых обозначений (4.70) уравнения (4.69) запишутся в виде

Система уравнений (4.71) учитывает как динамику трехкоординатного манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат, так и уравнения движения исполнительных двигателей постоянного тока.

Задача синтеза алгоритма позиционного управления рассматриваемым трехкоординатным манипулятором формулируется следующим образом.

В начальный момент времени t = 0 состояние управляемого исполнительного механизма характеризуется некоторыми значениями координат и скоростей их изменения

Требуется синтезировать такие алгоритмы вычисления управляющих напряжений Uj, при которых исполнительный механизм переходит из начального состояния (4.72) в окрест-

ность заданной точки с координатами зад, lзад, rзад и продол-

97

жает оставаться в этой окрестности бесконечно долго. Необ-

ходимо при этом, чтобы процессы (t) зад, l(t) lзад, r(t) rзад являлись решениями дифференциальных уравнений:

когда в процессе движения ускорения управляемых координат

Фактические ускорения , l , r отличаются от соответ-

ствующих эталонных э, l э, r э. Чтобы синтезировать алго-

ритмы управления по ускорению, управляющие напряжения следует получать с помощью следящих контуров, интегрируя выражения

98

На основе уравнений (4.74) и (4.76) получена структурная схема, представленная на рис. 4.7.

γ 1

Рис. 4.7. Структурная схема системы управления трехкоординатным манипулятором, работающим в цилиндрической системе координат

На схеме детально представлены два канала по координатам и r. Система содержит три внутренних контура отработки ускорений. В структуру этих контуров входит исполнительный механизм ИМ, каждая степень подвижности которого является составной частью соответствующего контура. Требу-

емые ускорения , al и ar формируются внешними контурами по информации о состоянии управляемого процесса (коорди-

наты , l, r и их производные ,l ,r ). Если линейные коорди-

наты l и r и их производные l и r недоступны физическому измерению, они могут быть вычислены по соотношениям:

где 2, 3 – углы поворота валов редукторов в степенях подвижности;

99