Методическое пособие 519
.pdf●α(a +b)=αa +αb ;
●α(ab)=(αa)b = a(αb);
●(αβ)a =α(βa);
●1 a = a .
Замечание 1.1. Часто в алгебраической структуре с бинарной операцией ab(a +b) единицу (ноль) называют нейтральным элементом, а обратный (про-
тивоположный) элемент к элементу a называют симметричным элементу a .
1.1.3. Векторные пространства
Определение 1.26. Абелева группа S с бинарной операцией сложения называется линейным (векторным) пространством над полем K , если задан внешний закон композиции f : K ×S → S ( f (α, x) =αx , α K , x S , αx S )
ивыполнены условия:
●1 x = x ;
●(α + β)x =αx + βx ;
●α(x + y)=αx +αy ;
●(αβ)x =α(βx)
для любых x, y S и любых α, β K .
Иными словами, в линейном пространстве элементы можно складывать и можно умножать на числа. При этом в пространстве есть нулевой элемент и действия обладают всеми свойствами сложения и умножения на коэффициент. Элементы линейного пространства называют векторами.
Чаще всего рассматривают линейное пространство над полем K , где K – это поле вещественных или комплексных чисел.
Определение 1.27. Пусть E линейное пространство над полем K . Пусть x1,…, xn – векторы из E , а α1,…,αn – числа из K . Тогда выражение
α1x1 +…+αn xn = y
называют линейной комбинацией элементов x1,…, xn с коэффициентами α1,…,αn . Говорят, что y линейно выражается через векторы x1,…, xn .
Определение 1.28. Векторы x1,…, xn линейного пространства E называ-
ют линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю лишь с нулевыми коэффициентами. Если же существует линейная комбинация векто-
11
ров y1,…, ym , равная нулю, среди коэффициентов которой есть хотя бы один ненулевой, то векторы y1,…, ym называют линейно зависимыми.
Определение 1.29. Если в векторном пространства E над полем K существует n линейно независимых векторов e1,…,en и любой вектор x E линейно
выражается через эти векторы ( x =α1e1 +…+αnen ), то говорят, что пространство E имеет размерность, равную n ( n – мерно).
Определение 1.30. Любой упорядоченный набор n линейно независимых векторов в n – мерном векторном пространстве называется базисом этого пространства. Коэффициенты разложения любого вектора пространства по векторам базиса определяются однозначно и называются координатами этого вектора в данном базисе.
Множество всех свободных векторов образует трехмерное векторное пространство над полем вещественных чисел. Условие линейной независимости трех векторов – их некомпланарность (непараллельность одной плоскости). Любые четыре вектора линейно зависимы (поэтому–то пространство трехмерно). Если в этом пространстве задан базис, то каждый вектор можно задать тройкой чисел – его координат в этом базисе. Действия с векторами можно осуществлять действиями с их координатами. В частности, если a =(a1; a2 ; a3 )
и b =(b1; b2 ; b3 ), то для любых α и β R
αa + βb =(αa1 + βb1; αa2 + βb2 ; αa3 + βb3 ).
Замечание 1.2. Допускаются обозначения a {a1; a2 ; a3} и b {b1; b2 ; b3}.
1.1.4. Линейные отображения
Определение 1.31. Пусть E линейное пространство над полем K . Отображение f : E → E называется линейным, если выполнено условие
f (αx + β y)=α f (x)+ β f (y)
для любых векторов x, y E и любых чисел α, β K .
Определение 1.32. Пусть E – n - мерное линейное пространство над полем K . Пусть в E задан некоторый базис e1,…,en . Тогда любому линейному
отображению f : E → E соответствует матрица A =(aij ), i, j =1, n , столбцы ко-
12
торой состоят из координат образов Aej базисных векторов ej соответственно.
Иными словами,
Ae1 = a11e1 +…+ an1en ,
.....................................
Aen = a1ne1 +…+ annen .
Матрицу A называют матрицей линейного отображения f в данном базисе.
Если в некотором базисе даны вектор x =(x1,…, xn ) и матрица A линейного отображения f , то координаты образа вектора x можно найти, умножив матрицу A на матрицу – столбец координат вектора x . Иными словами, если y =(y1,…, yn )= f (x), то
|
y |
|
x |
|
||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= A |
|
. |
y |
n |
|
x |
|
||
|
|
|
|
n |
|
1.1.5. Алгебра многочленов
Определение 1.33. Пусть x C (C – множество комплексных чисел). Тогда выражение (функция)
P(x)= a0 + a1x +…+ an xn ,
где a0 ,a1 ,…,an C , называется многочленом степени n ( an ≠ 0 ), а числа a0 ,…,an называются коэффициентами многочлена.
Относительно бинарных операций сложения функций и умножения функций множество всех многочленов степени n ≥ 0 является алгеброй над полем комплексных чисел, т.е. множество многочленов P(x) называют алгеброй
многочленов (обозначается P(C) ).
Определение 1.34. Число x0 называется корнем многочлена P(x), если
P(x0 )= 0.
Теорема 1.1 (основная теорема высшей алгебры). Каждый многочлен P(x) P(C ) степени n ≥1 имеет в C хотя бы один корень.
13
Теорема 1.2. Число x0 C является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится на многочлен P1 (x)= x − x0 .
Теорема 1.3. Если P(x)= a0 + a1x +…+ an xn – многочлен степени n ≥1, то справедливо представление
P(x)= an (x − x1 ) … (x − xn ), |
(1.1) |
где числа x1,…, xn – корни многочлена.
Многочлен P(x) степени n имеет ровно n корней x1,…, xn C (некоторые из корней могут совпадать друг с другом). Представление P(x) в виде (1.1)
называется разложением многочлена на линейные множители.
Сгруппировав в выражении (1.1) одинаковые скобки, получим представ- |
|
ление многочлена P(x) в виде |
|
P(x)= an (x − x1 )k1 (x − x2 )k2 … (x − xm )km , |
(1.2) |
где x1,…, xm – различные корни многочлена P(x) и k1 +…+ km = n . |
|
Определение 1.35. Число k j называется кратностью корня xj многочлена P(x), если справедливо представление (1.2).
Теорема 1.4. Если два многочлена степени не выше n совпадают в (n +1) различных точках, то эти многочлены тождественно равны.
Теорема 1.5. Для того, чтобы два многочлена P(x) и P* (x) тождествен-
но совпадали, необходимо и достаточно, чтобы у этих многочленов совпадали коэффициенты при одинаковых степенях x .
Теорема 1.6. Если P(x) – многочлен с действительными коэффициентами, то вместе с корнем x1 = a +bi (b ≠ 0) многочлен P(x) имеет корень x2 = a −bi (a,b R).
Теорема 1.7. Если P(x) – многочлен с действительными коэффициентами степени n ≥1, то справедливо представление
P(x)= an (x − x1 )k1 … (x − xs )ks (x2 + p1x + q1 )l1 … (x2 + pr x + qr )lr , (1.3)
14
где x1,…, xs – действительные корни многочлена P(x), а квадратные трехчлены (x2 + pj x + qj ) имеют действительные коэффициенты и соответствуют комплексным попарно сопряженным корням многочлена P(x). При этом k1 +…+ ks + 2l1 +…+ 2lr = n .
Определение 1.36. Многочлен P(x)= a0 + a1x +…+ an xn , где x R и ко-
эффициенты a0 ,a1 ,…,an R , называется многочленом над полем действитель-
ных чисел. Множество всех таких многочленов тоже образует алгебру над полем действительных чисел.
Такие многочлены раскладываются на множители по формуле (1.3).
1.2.Тестовые задания и их решения
1.2.1.Основные алгебраические структуры
Тестовое задание 1.1
Множество Z целых чисел замкнуто |
|
извлечения корня |
относительно операций… |
|
|
|
умножения |
|
|
|
|
|
|
вычитания |
|
|
деления |
Тестовое задание 1.2 |
|
|
Множество четных натуральных чисел |
|
сложения |
|
||
замкнуто относительно операций… |
|
|
|
умножения |
|
|
|
|
|
|
вычитания |
|
|
деления |
Тестовое задание 1.3 |
|
|
Множество натуральных чисел, деля- |
|
сложения |
|
||
щихся на 3, замкнуто относительно |
|
|
|
умножения |
|
операций… |
|
|
|
вычитания |
|
|
|
|
|
|
деления |
В этих заданиях нужно проверить замкнутость данного множества по отношению к каждой из указанных операций. Это означает, что нужно проверить, принадлежит ли результат данной операции исходному множеству.
15
Решение задания 1.1. В этом задании дано множество Z целых чисел. Очевидно, произведение целых чисел и разность целых чисел – целые числа, а корень из целого числа и частное от деления целых чисел не всегда являются целыми числами. Поэтому правильные ответы: операции умножения и вычитания.
Решение задания 1.2. Здесь рассмотрим, какие из операций с натуральными числами всегда дают в результате натуральное число. Очевидно, это
сложение и умножение.
Решение задания 1.3. В этом задании дано множество натуральных чисел, делящихся на 3. Произведение и сумма таких чисел тоже делится на 3, а частное и разность вообще могут и не являться натуральными числами. Значит, правильные ответы: операции сложения и умножения.
Тестовое задание 1.4
Дано множество положительных це- лых четных чисел. Тогда арифметическими действиями (сложение, вычитание, умножение, деление), всегда выполнимыми на этом множестве, являются …
сложение и деление сложение и умножение умножение и вычитание умножение и деление
Тестовое задание 1.5
Дано множество N {0}. Укажите,
какие из арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление), всегда выполнимы на этом множестве:
сложение и вычитание деление и вычитание умножение и сложение умножение и деление
В заданиях 1.4 и 1.5 фактически задается вопрос о замкнутости множества относительно двух операций, а вместо этого ставится вопрос о выполнимости операций всегда на данном множестве, т.е. о принадлежности результатов указанных операций с любыми элементами множества тому же множеству.
Решение задания 1.4. В данном задании правильный ответ – умножение
исложение, так как данное множество состоит из положительных четных чисел. Результаты вычитания и деления таких чисел могут быть неположительны
идаже не являться целыми.
Решение задания 1.5. В этом задании рассмотрены те же действия, что и в задании 1.4, но на множестве натуральных чисел с добавленным к ним числом 0. Очевидно, ответ такой же, как и в задании 1.4, и по той же причине.
16
1.2.2. Бинарные алгебраические операции
Тестовое задание 1.6 |
|
|
|
|
|
На множестве натуральных |
чисел |
N |
|
a |
b = −a b |
|
|||||
определены операции … |
|
|
|
||
|
|
|
a |
b = a b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
b = max{a,b} |
|
|
|
|
a |
b = (a +b) 2 |
Тестовое задание 1.7 |
|
N |
|
|
|
На множестве натуральных |
чисел |
|
a b = a −b |
||
|
|||||
определены операции … |
|
|
|
||
|
|
|
a |
b = a2 b2 |
|
|
|
|
|
a |
b = NOD{a,b} |
|
|
|
|
a |
b = a b |
|
|
|
|
|
|
Решение заданий 1.6. и 1.7. В этих заданиях рассматривается множество N натуральных чисел. Перечислены несколько бинарных операций. Нужно определить, какие из них определены на N, т.е. результат каких из этих операций с любыми натуральными числами есть натуральное число. Очевидно, это опе-
рации a b = a b , |
a |
b = max{a,b}, |
a b = a2 b2 , |
a |
b = NOD{a,b} |
( NOD – |
|
наименьший |
общий |
делитель). |
Операции |
a |
b = −a b , a |
b = a −b , |
|
a b = (a +b) |
2, a |
b = a b могут дать в результате отрицательные целые числа |
или дроби. Поэтому в заданиях 1.6 и 1.7 правильные ответы – вторая и третья операции.
Тестовое задание 1.8
Дано множество действительных чи- |
|
|
0,125 |
сел с операцией «●» (умножение) и |
|
|
|
|
|
−0,125 |
|
нейтральным элементом 1 (единица). |
|
|
|
|
|
−8 |
|
Элемент, симметричный элементу 8, |
|
|
|
|
|
8 |
|
равен… |
|
|
|
Тестовое задание 1.9 |
|
|
|
Дано множество целых чисел с опера- |
|
|
−4 |
|
|
||
цией «+» (сложение) и нейтральным |
|
|
|
|
|
−1 |
|
элементом 0 (ноль). Элемент, симмет- |
|
|
|
ричный элементу 4, равен… |
|
|
4 |
|
|
||
|
|
||
|
|
нет симметричного |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
17
В заданиях 1.8 и 1.9 нужно определить элемент, симметричный (противоположный, обратный ) данному элементу.
Решение задания 1.8. В данном задании дана группа R действительных чисел с операцией умножения, в которой нейтральным элементом является число 1. В этом случае симметричным любому ненулевому числу является об-
ратное ему (числу a ≠ 0 симметричное a−1 = 1a ). Числу 8 симметричным явля-
ется 18 = 0,125.
Решение задания 1.9. Здесь дана группа Z целых чисел с операцией сложения, в которой нейтральным элементом является число 0. В этом случае симметричным любому целому числу является противоположное число (числу a симметрично « −a »). Числу 4 симметричным числом является « −4 ».
Тестовое задание 1.10
Бинарная операция сложения выпол- |
действительных |
|
нима и однозначна на множестве |
||
B ={x | −1 ≤ x <9} |
||
________чисел. |
A ={x | x <5} |
|
|
||
|
рациональных |
Решение. В этом задании рассматривается бинарная операция сложения чисел. Спрашивается, на каких из рассматриваемых числовых множествах она выполнима, т.е. фактически какие из предлагаемых множеств замкнуты относительно операции сложения. Очевидно, эти множества – множество действи-
тельных |
чисел |
и |
множество |
|
рациональных |
|
чисел. |
|
|
|
|
Множества |
||||||||||||
B ={x | −1 ≤ x <9} |
и A ={x | x <5} |
нам не |
подходят, |
|
|
|
так |
как, |
|
например, |
||||||||||||||
x = 4,5 B , |
y = 4,8 B , а x + y =9,3 B ; |
|
x =3 A , y = 4 A , но x + y = 7 A . |
|||||||||||||||||||||
Тестовое задание 1.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Бинарное |
отношение |
R делимости |
|
) |
, |
16;4 |
) |
, 16;32 |
) |
, 16;16 |
)} |
|||||||||||||
|
16;2 |
|||||||||||||||||||||||
aRb (a делится на b) справедливо на |
|
{( |
|
|
( |
|
( |
|
|
|
( |
|
|
|||||||||||
множествах пар |
(a;b N × N ) (N |
– |
|
{( |
36;2), (36;3), (36;4), (36;9)} |
|||||||||||||||||||
множество натуральных чисел) … |
|
|
{( |
|
) |
, |
( |
) |
|
( |
|
) |
|
|
( |
|
)} |
|||||||
|
|
18;3 |
|
18;9 |
|
, 18;36 |
|
|
, 18;18 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
{(48;3), (48;4), (48;6), (48;8)} |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В данном задании рассматривается бинарное отношение R делимости на множестве натуральных чисел N. В отношении R находятся такие
18
пары натуральных чисел (a, b), для которых ba – целое число. Спрашивается,
для каких из приведенных четырех множеств пар натуральных чисел все пары этих множеств находятся в отношении R. Для ответа на этот вопрос нужно для каждого множества проверить каждую пару – делится ли первый элемент пары на второй? Очевидно, правильный ответ – второе и четвертое множества. Действительно, во втором множестве 36 делится на 2, 36 делится на 3, 36 делится на 4 и 36 делится на 9. Аналогично проверяется четвертое множество. В первом множестве третий элемент (16;32), а в третьем множестве третий эле-
мент (18;36) нас не устраивают, так как 16 не делится нацело на 32, а 18 на 36.
1.2.3. Векторные пространства
Тестовое задание 1.12
Тройка векторов, образующих базис в пространстве, изображена на рисунках
…
19
Решение. В этом задании изображены четыре тройки векторов в трехмерном векторном пространстве. Предлагается указать те из этих троек, которые образуют базис в этом пространстве. Так как базис в трехмерном векторном пространстве образует любая тройка линейно независимых векторов, а условие линейной независимости трех векторов – их некомпланарность, то визуально (т.е. глядя на рисунки) определяем, что некомпланарные тройки векторов
– во втором и третьем вариантах предлагаемых ответов. Действительно, выпустив эти векторы из одной точки, получим (перенесенные векторы обозначим толстой линией):
в первом варианте –
во втором варианте –
в третьем варианте –
в четвертом варианте –
Теперь видно, что в первом и четвертом вариантах тройки векторов лежат
20