Методическое пособие 487
.pdfМожно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
arctg |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z R j |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
e |
2 fCR |
2,227 104 e j 1,105Ом.. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 fC |
|
|
|
2 fC |
|
|
|
|
|
||||||
Тогда для проводимости получим |
|
|
|
|
|||||||||||||
Y |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
4,491 10 5 e j 1,105Сим. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z |
2,227 104 |
|
e 1,105 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление |
параллельного |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соединения |
двух элементов с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сопротивлениями Z1 и Z 2 опре- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деляется выражением |
||||||||
Z |
|
Z1 Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z1 |
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексное сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:
-в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;
-фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;
-эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.
99
Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 5.2
|
|
|
|
|
при |
|
R1 |
|
|
|
R2 |
|
1кОм, |
C 1нФ, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
106 рад/с и определим ее ком- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
плексное сопротивление Z . В це- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
пи выделяется простой парал- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
лельный фрагмент из |
|
элементов |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
R2C и определяется его сопро- |
||||||||||||||||
|
Рис. 5.2. |
|
тивление Z 2 , равное |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Z2 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j |
C R2 |
|
1 |
|
|
1 |
j |
R2C |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
j |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда параллельный |
фрагмент |
R2C |
|
|
заменяется |
эквивалент- |
|||||||||||||||
ным элементом с сопротивлением Z 2 |
|
|
и схема цепи принимает |
||||||||||||||||||
вид, показанный на рис. 5.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для полученной последовательной цепи ее сопротивле- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ние Z равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Z |
R1 |
Z 2 |
|
R1 |
|
|
|
R2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
j |
R2 C |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.3. |
Подставляя исходные данные, получим |
||||||||||||||||||||
Z 103 |
|
103 |
|
|
|
103 |
|
103 |
|
1500 |
|
j500Ом. |
|||||||||
1 j 106 |
103 10 9 |
|
1 |
j |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.6.Характеристики комплексного сопротивления
ипроводимости
Полное комплексное сопротивление Z в показательной форме можно записать в виде
100
|
|
Ue |
j u |
|
U |
|
|
||
Z |
U |
|
|
|
e j ( u i ) . |
(5.19) |
|||
I |
|
|
j |
|
|
||||
|
|
Ie |
i |
|
I |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,
Z |
|
|
U |
. |
(5.20) |
|
|||||
|
|
||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
Аргумент комплексного сопротивления равен сдвигу фаз ме-
жду напряжением и током,
|
|
|
|
|
u |
|
i , |
(5.21) |
|
Комплексная проводимость в показательной форме |
|||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
I |
|
Ie |
j |
i |
|
I e j ( i u ) , |
(5.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ue |
j |
u |
U |
|
|||
|
U |
|
|
|
ее модуль равен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,
|
Z |
|
U |
, |
(5.23) |
|
|
||||
|
|
I |
|||
|
|
|
|
|
|
а аргумент – сдвигу фаз между током и напряжением, |
|
||||
|
|
i |
|
u . |
(5.24) |
Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.
101
Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,
Z R jX , |
(5.25) |
где R - активная а, X - реактивная составляющие комплексного сопротивления. Все величины в (5.25) измеряются в Омах.
Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 5.2.
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
R 2 C |
|
Z |
R1 |
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
2 |
. (5.26) |
||
1 j R2 C |
|
|
|
|
R2 C 2 |
|
|
|
R2 C 2 |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||
Как видно, активная R составляющая сопротивления Z равна |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
R1 |
|
|
|
|
|
R2 |
|
, |
|
|
(5.27) |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R2C 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а реактивная X - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
(5.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R2 C 2 |
|
||||||||
и обе зависят от частоты сигнала. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Зависимости от частоты |
|
активной R и реактивной |
|||||||||||||||
X |
составляющих сопротивления для цепи рис. 5.2 показаны |
|||||||||||||||||
на рис. 5.4. На низких частотах |
|
|
0 емкость является раз- |
|||||||||||||||
рывом цепи и сопротивление Z |
|
R1 |
R2 |
2000Ом. На высо- |
||||||||||||||
ких частотах |
|
|
емкость представляет собой короткое за- |
мыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равно Z R1 1000Ом. И в том и другом случаях
реактивное сопротивление стремится к нулю.
102
При 106 рад/с получается ранее вычисленное значе-
ние Z 1500 j500Ом.
Рис. 5.4.
Аналогичный анализ проводимости цепи, показанной на рис. 5.2, проведите самостоятельно.
5.7. Комплексная мощность
Полная комплексная мощность S |
определя- |
||||
|
|
|
|
|
|
ется выражением |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
* |
, |
(5.29) |
S |
2 |
U |
I |
||
где I * Ie j i - комплексно-сопряженная |
амплитуда |
||||
тока. |
|
|
|
|
|
Это комплексная величина с действительной и мнимой частями,
S |
1 |
Ue j u Ie j i |
1 |
UIe j ( u i ) |
1 |
UI cos( ) |
j |
1 |
UI sin( ) . (5.30) |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
Комплексная мощность измеряется в ВА (вольт-амперах). 103
Как видно, действительная (активная) составляющая комплексной мощности представляет собой среднюю мощ-
ность P , потребляемую двухполюсником, |
|
|||
P |
1 |
UI cos( ) . |
(5.31) |
|
2 |
||||
|
|
|
Как уже отмечалось, активная мощность измеряется в ваттах. Мнимая (реактивная) составляющая Q комплексной
мощности равна
Q |
1 |
UI sin( ) |
(5.32) |
|
2 |
||||
|
|
|
и характеризует процессы накопления и обмена энергией с источником в реактивных элементах цепи. Эта мощность не расходуется цепью и измеряется в ВАр (вольт-амперы реактивные), она численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. Реактивная мощность может быть положительной (при 0 ), при этом энергия запасается в магнитном
поле индуктивностей, или отрицательной (при 0 ) при на-
коплении энергии в электрическом поле емкостных элементов. Модуль комплексной мощности равен
S |
|
1 |
UI |
(5.33) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|||
и измеряется в ВА. Величину |
S называют полной мощно- |
стью, она определяется активной и реактивной мощностями,
S P2 Q2 . |
(5.34) |
Можно записать
104
P S cos( ) , |
(5.35) |
величину cos( ) называют коэффициентом мощности. При
0 потребляемая мощность P максимальна и равна полной мощности S , а реактивная мощность Q равна нулю.
Если для вычисления мощности используются действующие значения напряжения и тока, то в приведенных соотношениях удаляется множитель 1/ 2 .
5.8. Расчет мощности, потребляемой двухполюсником
Зная комплексные амплитуды напряжения и тока, согласно (5.29), можно определить комплексную мощность, на-
пример, |
|
|
5e |
j100 |
|
|
10e |
j 200 |
А получим, что сдвиг |
||||
при U |
|
В и I |
|
||||||||||
фаз |
между |
|
|
напряжением |
и |
|
током |
равен |
|||||
u |
i |
30 20 |
|
|
500 . Тогда комплексная мощность равна |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
j100 |
|
j 200 |
|
|
j500 |
ВА, |
|
|
|
|
S |
|
|
5e |
|
10e |
|
25e |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
активная составляющая (потребляемая мощность) - |
|
||||||||||||
|
|
P |
Re S |
25cos( 500 ) 16,07 Вт, |
|
реактивная мощность –
QIm S 25sin( 500 ) 19,151 ВАр,
аполная мощность -
S 12 UI 25 ВА.
105
Отрицательная реактивная мощность свидетельствует о том, что цепь накапливает энергию в емкостном элементе. Так как
коэффициент мощности равен cos( ) cos( 500 ) 0,643 , то
потребляемая мощность существенно меньше полной. Мощности можно определить, зная комплексную ам-
плитуду напряжения (или тока) и комплексное сопротивление
(проводимость) цепи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Рассмотрим цепь на рис. |
5.2 с подключенным к ней |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
идеальным |
источником |
гармо- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нического напряжения e(t) , по- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
казанную |
на |
рис. |
|
|
5.5.при |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
R2 1кОм, |
|
C |
|
|
1нФ, |
|||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.5. |
|
|
|
|
|
e(t) |
5 cos(106 t |
300 ) В. |
|
|
Ком- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плексная |
амплитуда |
E |
|
|
ЭДС |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5e |
j 300 |
В, а |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
источника равна E |
|
|
|
|||||||||
комплексное сопротивление цепи было определено ранее, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
R1 |
|
|
|
|
R2 |
|
|
1500 |
|
j500 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
j R2 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
По закону Ома найдем комплексную амплитуду тока I , |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5e |
j300 |
|
|
|
|
|
5e |
|
j300 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
I |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,162e j11,56 |
|
мА, |
|||||||||||
Z |
1500 |
j500 |
|
1,581 103 e j18,40 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а полная комплексная мощность равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
5e |
j300 2 |
|
|
|
|
|
25e |
j 600 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
S |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 10 2 e j 41,56 |
|
ВА, |
||||||||||
Z |
1500 |
|
j500 |
|
|
|
1,581 103 |
|
e j18,40 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или в алгебраической форме
106
|
S 0,012 j0.01 ВА. |
|
Таким образом, потребляемая цепью |
мощность равна |
|
P 0,012Вт, |
реактивная мощность - Q |
0,01 ВАр, а полная |
мощность - S |
0,016 ВА. |
|
На практике наибольший интерес представляет определение мощности, которую потребляет цепь от одного или нескольких источников. Необходимо помнить, что в электрической цепи мощность потребляется только активными элементами – сопротивлениями.
Потребляемую мощность в цепи, содержащей несколько сопротивлений, можно определить, если известны амплитуды (действующие значения) токов или напряжений на этих элементах.
Мощность, потребляемая цепью, содержащей несколько сопротивлений, равна сумме мощностей, потребляемой каждым из этих элементах в отдельности.
Расчет токов и напряжений на элементах цепи будет
рассмотрен в дальнейшем. |
|
|
|
|
|
|
В цепи с комплексным сопротивлением Z |
R jX при |
|||||
протекании через нее тока с |
амплитудой |
I |
потребляемая |
|||
мощность равна |
|
|
|
|
|
|
P |
1 |
I |
2 |
R . |
|
(5.36) |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично в цепи с |
комплексной |
проводимостью |
Y G jB при наличии на ней напряжения с амплитудой U потребляемая мощность будет равна
P |
|
1 |
U 2G . |
(5.37) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|||
|
107 |
|
5.9. Максимизация потребляемой мощности
Винженерной практике часто возникает необходимость обеспечить максимум активной мощности, передаваемой от источника сигнала в нагрузку.
Вкачестве примеров можно выделить задачу максимизации мощности на валу электродвигателя при питании его от силовой сети. Аналогичная проблема возникает при передаче высокочастотной мощности от выходного усилителя радиопередатчика в антенну для излучения электромагнитных волн (высокочастотная мощность стоит очень дорого как с экономической, так и с технической точки зрения).
Схема электрической цепи показана на рис. 5.6. В цепь
включен |
реальный |
источ- |
|||
ник напряжения с ком- |
|||||
плексной амплитудой ЭДС |
|||||
E |
и |
внутренним ком- |
|||
|
|
|
|
|
|
плексным |
сопротивлением |
||||
Z R jX , к которому |
|||||
подключена |
нагрузка с |
||||
комплексным |
сопротивле- |
||||
нием Z Н |
|
RН |
jX Н . |
||
Рис. 5.6. |
Необходимо |
подоб- |
|||
рать |
такое |
сопротивление |
нагрузки, при котором она потребляла бы от источника максимальную мощность.
Комплексная амплитуда тока в цепи I |
равна |
||||
|
E |
|
E |
|
|
I |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||
|
Z Z Н |
|
R RН j( X X |
Н ) |
тогда для амплитуды тока получим
108
|
|
I |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
, |
|
(5.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
RН |
2 |
|
X |
X |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|||||||
в выражение для потребляемой мощности примет вид |
|
||||||||||||||||||||
P |
1 |
I |
2 |
R |
|
|
1 |
|
|
|
E 2 RН |
|
|
|
|
|
|
, |
(5.39) |
||
2 |
|
Н |
|
2 R |
RН |
|
2 |
X |
X |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
так как мощность потребляется только в активном сопротив-
лении RН .
Необходимо определить максимум (5.39) по двум независимым переменным – активному RН и реактивному X Н со-
противлениям нагрузки. Как видно, величина |
X Н |
присутству- |
ет только в знаменателе дроби и сумма X |
X Н |
возводится в |
квадрат. Минимум знаменателя будет иметь место при условии
X X Н 0 или X Н X . (5.40)
Таким образом, реактивное сопротивление нагрузки должно быть по модулю равно реактивному сопротивлению источника и иметь противоположный характер (если у источника сопротивление индуктивно, то у нагрузки оно должно быть емкостным и наоборот). В результате получим
max P |
1 |
|
E 2 RН |
|
. |
(5.41) |
|
2 |
|
R R |
|
2 |
|||
RН |
|
Н |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимум (5.41) по RН |
|
можно найти, вычислив произ- |
водную этой функции и приравняв ее нулю. В результате получим (проделайте это самостоятельно) условия, при которых
109
потребляемая нагрузкой мощность максимальна,
X Н |
X , |
(5.42) |
|
RН |
R, |
||
|
и соответствующую величину мощности
|
|
E 2 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
. |
|
|
|
|
(5.43) |
|
|
|
|
|
||||
max |
|
8R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зависимости мощности |
в нагрузке |
P |
от |
RН |
при |
|||
|
|
X |
X Н |
0 (сплошная ли- |
||||
|
ния) |
и |
X |
X Н |
|
10 Ом |
||
|
(пунктирная линия) показа- |
|||||||
|
ны на рис. 5.7 при R |
10 Ом |
||||||
|
и E |
1 В. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Как видно, при от- |
||||
|
клонении |
от |
оптимальных |
|||||
|
условий (5.42) потребляемая |
|||||||
|
нагрузкой мощность замет- |
|||||||
Рис. 5.7. |
|
но снижается. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Рассмотрим |
коэффи- |
циент полезного действия (КПД) – отношение мощности в нагрузке к мощности, потребляемой от источника сигнала, равной
|
|
1 |
|
|
E 2 |
|
|
|||
PИСТ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
(5.44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 R |
RН |
|
|
||||
тогда КПД равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
RН |
. |
(5.45) |
||||
|
PИСТ |
R RН |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
110 |
|
|
|
|
Зависимость КПД от активной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.8. Как видно, при условии передачи максимума мощности в нагрузку КПД равен 0,5 (50%), то есть половина мощности источника потребляется его же внутренним со-
Рис. 5.8. противлением (происходит нагрев источника). При повышении RН КПД увеличивается, однако при этом снижается мощ-
ность, передаваемая в нагрузку.
5.10. Задания для самостоятельного решения
Задание 5.1. Определите комплексные амплитуды гармонических сигналов
u(t) |
3cos(100t |
450 ) В, u(t) |
10cos(103 t |
/ 3) мВ |
i(t) |
5sin(3 105 t |
300 ) мА, i(t) |
0,4 sin(106 t |
) А. |
Задание 5.2. По заданной комплексной амплитуде определите мгновенные значения сигналов, их амплитуды и начальные фазы
|
|
|
2 j4 |
|
2e |
i 400 |
В, |
|
|
j / 3 |
мВ, |
U 2 j4 |
В, U |
мВ, U |
|
U 8e |
|
||||||
I |
7 j4 мА, I |
j4 А, I 2 je i 400 мА, |
I |
25мкА. |
|
Задание 5.3. Вычислите сумму, разность, произведение и ча-
стное комплексных чисел S1 |
и S |
2 , результаты запишите в ал- |
||||||||||
гебраической и показательной формах. |
|
|
|
|
||||||||
|
S1 |
4-j3 |
7-j4 |
-j |
|
2 |
|
6e j 300 |
20+j3 |
8e |
j / 4 |
|
|
S 2 |
-8+j2 |
-j5 |
j |
-1-j |
|
5+j2 |
10e j / 2 |
3e |
j 600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
|
|
|
|
|
Задание 5.4. Для чисел из задания 5.3 вычислите обратную величину 1/ S .
Задание 5.5. Для чисел из задания 5.3 вычислите их модуль и аргумент.
Задание 5.6. Найдите полное комплексное сопротивление Z и проводимость Y показанной на ри-
сунке цепи при R1 |
R2 10 кОм и |
C 2 нФ на частоте |
106 рад/c. |
Задание 5.7. Вычислите полное комплексное сопротивление
Z |
и проводимость Y |
показанной на |
рисунке цепи при R1 |
R2 2 кОм и |
|
L |
10мГн на частоте |
105 рад/c. |
Задание 5.8. Вычислите полное комплексное сопротивление
Z |
и проводимость Y показанной на |
||||
рисунке |
цепи |
при |
R1 |
1кОм, |
|
L |
1 мГн |
и C |
1нФ |
на |
частоте |
|
106 рад/c. |
|
|
|
Задание 5.9. Определите полное комплексное сопротивление цепи из задания 5.8. Найдите формулы его активной и реактивной составляющих, постройте их графики в зависимости от частоты сигнала.
112
Задание 5.10. Вычислите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью при ЭДС ис-
точника |
e(t) 5sin(106 t 300 ) В, |
R1 R2 |
10 кОм и C 2 нФ |
Задание 5.11. Определите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью от источника
тока i0 (t) 10cos(106 t |
/ 3) мА при |
R1 1кОм, L 1 мГн и C |
1нФ. |
113
6.РАСЧЕТ ГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ
6.1. Общие замечания
Втретьем разделе рассмотрены методы расчета цепей постоянного тока (повторите соответствующий материал). В этом случае цепи были резистивными, индуктивности и емкости отсутствовали.
Вцепях с гармоническими сигналами токи и напряжения определяются методом комплексных амплитуд, в рамках которого реализуются различные методы расчета. Все они ис-
пользуют комплексные амплитуды сигналов и комплексные сопротивления (проводимости) элементов цепи.
При расчетах не забывайте обозначать пропис-
ными буквами и отмечать точкой сверху комплексные амплитуды токов и напряжений, и записывать мнимую единицу перед реактивными сопротивлениями или проводимостями.
6.2. Расчет токов и напряжений на основе закона Ома
С помощью закона Ома можно определять токи и напряжения в сравнительно простых цепях с одним источником сигнала.
Расчет проводится следующим образом. Прежде всего, определяется комплексное входное сопротивление (или проводимость) цепи относительно точек ее подключения к источнику. Затем при известной ЭДС источника напряжения по закону Ома находится общий ток цепи, а при заданном источнике тока - общее напряжение на ее зажимах.
Далее цепь представляется как последовательное или параллельное соединение двухполюсников, и вычисляются ли-
114
бо напряжения на них, либо протекающие через них токи. Эти расчеты продолжаются до тех пор, пока не будут определены искомые токи или напряжения.
В качестве примера рассмотрим расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 6.1 при ЭДС источника
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e(t) 5 cos(106 t |
|
300 ) В, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
R2 |
1кОм и C |
1нФ. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим общее |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сопротивление цепи от- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
носительно полюсов ис- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точника |
(этот |
|
расчет |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проведен для цепи на |
|||||||
|
|
|
Рис. 6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 5.5), |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Z |
R1 |
|
|
|
R2 |
|
|
1500 |
|
j500 |
Ом |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
j |
R2C |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и комплексную амплитуду ЭДС источника напряжения |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5e |
j 300 |
В, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда комплексная амплитуда общего тока цепи I1 |
равна |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
5e |
j300 |
|
|
|
|
|
|
5e |
j300 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
I1 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,162e |
j11,56 |
|
мА. |
||||
|
Z 1500 |
j500 |
1,581 103 e j18,4 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
По закону Ома комплексная амплитуда U1 |
напряжения |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на сопротивлении R1 |
запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3,162e |
|
j11,560 |
10 |
3 |
3,162e |
j11,560 |
В. |
|
|
|||||||||
|
|
|
U1 |
I1 R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Напряжения на параллельно соединенных элементах R2 |
и C |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одинаковы и их комплексные амплитуды равны
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
j |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
U 2 |
U C |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
I |
|
|
j R2 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3,162 10 |
|
3 |
e |
j11,560 |
|
103 |
|
1,232 |
j1,866 2,236e |
j56,560 |
В. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 j |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По найденным напряжениям найдем токи в элементах R2 и C , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j56,560 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
I 2 |
U 2 |
|
|
2,236e |
|
|
|
|
2,236 10 3 e j 56,560 мA, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
9 |
2,236e |
j 56,560 |
2,236 10 |
3 |
e |
j 33,440 |
мA. |
|
|||||||||||
IC |
j CU C |
|
|
j10 10 |
|
|
|
|
|
На рис. 6.2 показана векторная диаграмма токов и напряжений в цепи на рис. 6.1, построенная в пакете программ MathCAD (символические обозначения векторов и пунктирные линии их суммирования добавлены в с помощью программы Paint). Как видно из проведенных расчетов, численные значения напря-
жений U |
1 |
и U |
2 |
UC (в вольтах) |
|
|
|
|
|
и токов I1 и I 2 (в миллиамперах)
соответственно одинаковы, поэтому отображающие их векторы на диаграмме совпадают.
Суммирование векторов (в соответствии с показанными на Рис.6.2. рис. 6.2 пунктирными линиями) подтверждает первый и второй
законы Кирхгофа.
116
6.3. Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа
В исследуемой цепи вводятся обозначения и задаются положительные направления всех токов и напряжений всех ветвей (элементов) цепи. Определяется число узлов q , число
ветвей p, не содержащих идеальные источники тока, и количество уравнений, которые необходимо составить по первому (q 1) и второму ( p q 1) законам Кирхгофа.
Затем для каждого элемента и ветви цепи по закону Ома записываются компонентные уравнения связи токов и напряжений, всего p уравнений. Для (q 1) узлов формируются
уравнения первого закона Кирхгофа, а для ( p q 1) независимых контуров – уравнения второго закона Кирхгофа, всего p топологических уравнений.
Выражая токи ветвей через напряжения из компонентных уравнений, и подставляя их в уравнения первого закона Кирхгофа, получим систему из p уравнений для напряжений
ветвей (метод напряжений ветвей). Если же выразить из компонентных уравнений напряжения ветвей через их токи и подставить их в уравнения второго закона Кирхгофа, то получим p уравнений для токов ветвей (метод токов ветвей).
Решение системы уравнений электрического равновесия цепи позволяет определить комплексные амплитуды всех токов и напряжений.
Рассмотрим пример цепи показанной на рис. 6.3 при
R1 |
R2 1кОм, |
L 1 мГн, |
e(t) |
5 sin(106 t |
200 ) В и |
|
i |
0 |
(t) 10cos(106 t 100 ) мА. |
|
|
|
|
|
В ней введены обозначе- |
||
|
ния и заданы положитель- |
||
Рис. 6.3. |
ные направления всех то- |
||
|
ков и напряжений. Опре- |
делим комплексные амплитуды сигналов источников, при этом
117
ЭДС источника напряжения необходимо преобразовать к виду
e(t) |
5sin(106 t |
200 ) |
5 cos(106 t |
1100 ) мА, |
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5e |
j1100 |
В, |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|||
|
|
|
I0 |
10e j100 мА. |
|
|||
Запишем подсистему компонентных уравнений цепи, |
||||||||
U |
1 |
R1 I1 , |
U 2 |
R2 I 2 , |
|
U L |
j LI L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В цепи на рис. 6.3 два узла ( q |
2 ), поэтому по первому |
|||||||
закону Кирхгофа необходимо составить (q |
1) 1 уравнение |
|||||||
|
|
I1 |
I 2 |
I L |
I0 |
0 . |
|
Имеется три ветви p, не содержащих идеальные источники тока, тогда по второму закону Кирхгофа необходимо составить ( p q 1) 2 уравнений для контуров R1 , R2 , E и R2 L соответственно (обход контура по часовой стрелке),
U1 |
U L |
E, |
|
|
|
|
|
U |
2 |
U L |
0. |
|
|
|
|
В результате получим систему уравнений цепи рис. 6.3,
U |
1 |
R1 I1 , |
U |
2 |
R2 I |
2 , |
U L |
j LI L , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
I 2 |
I L |
I0 |
0 , |
|
|
|
|
|
U1 |
U L |
E, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
2 |
U L |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|