Методическое пособие 279
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12x x 7x 11x x 0 |
x x 3x 4x 0 |
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1 |
2 |
3 |
4 5 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
8) |
24x1 2x2 14x3 22x4 2x5 0, |
4x1 3x2 x3 2x4 1 ; |
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x x x x 2x 0 |
3x 2x 2x 2x 1 |
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1 |
2 |
3 4 |
5 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
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2x 3x 3x 3x x 0 |
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x 2x 2x 3x 0 |
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1 |
2 |
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3 |
4 |
5 |
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1 |
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2 |
3 |
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4 |
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9) |
x1 |
6x2 x3 x4 2x5 0 |
, |
3x1 5x2 x3 4x4 1 ; |
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x 16x 6x 6x 7x 0 |
|
2x 3x x x 1 |
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1 |
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2 |
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3 |
4 |
5 |
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1 |
2 |
3 |
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4 |
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8x x x x 2x 0 |
|
x 2x 2x 3x 0 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
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1 |
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2 |
3 |
|
4 |
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10) |
3x1 3x2 2x3 x4 3x5 0 |
, |
2x1 3x2 |
x3 |
4x4 |
1 ; |
|||||||||||
|
5x 4x 3x 2x 5x 0 |
3x 5x 3x 7x 1 |
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1 |
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2 |
3 |
4 |
5 |
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1 |
2 |
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3 |
|
4 |
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7x 14x 3x x x 0 |
|
x x 4x 3x 0 |
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1 |
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2 |
3 |
4 |
5 |
|
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1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
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11) |
x1 |
2x2 |
x3 3x4 |
7x5 0 |
, |
3x1 2x2 |
x3 |
2x4 |
1; |
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|
5x 10x x 5x 13x 0 |
2x x 3x x 1 |
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1 |
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2 |
3 |
4 |
5 |
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1 |
2 |
3 |
|
4 |
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|
x x x x x 0 |
|
x 3x 4x 3x 2 |
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1 |
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2 |
3 |
4 |
5 |
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1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
12) |
2x1 x2 |
2x3 x4 |
2x5 0, |
|
3x1 8x2 |
x3 |
2x4 |
5 ; |
|||||||||
|
x 2x 5x 2x x 0 |
|
2x 5x 3x x 3 |
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1 |
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2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
7x 2x x 2x 2x 0 |
|
x 4x 2x 3x 2 |
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1 |
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2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
13) |
x1 |
3x2 |
x3 x4 x5 |
0 |
, |
2x1 9x2 |
x3 |
4x4 |
5; |
||||||||
|
2x 3x 2x x x 0 |
|
x 5x x x 3 |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
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2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
2x1 2x2 3x3 7x4 2x5 0 |
2x1 3x2 4x3 7x4 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
11x2 34x4 5x5 |
0 |
|
|
|
x2 |
3x3 4x4 1 ; |
||||||||
14) |
x1 |
, |
x1 |
||||||||||||||
|
x 5x 2x 16x 3x 0 |
4x 5x 2x x 3 |
|||||||||||||||
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|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
x 3x 5x 9x x 0 |
|
x 4x 3x x 2 |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
15) |
2x1 7x2 3x3 7x4 2x5 0, |
2x1 7x2 |
4x3 |
3x4 3; |
|||||||||||||
|
x 4x 2x 16x 3x 0 |
x 2x x 3x 0 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
19
x1 x2 x3 2x4 x5 0
16)x1 x2 2x3 x4 2x5 0,x1 3x2 4x3 3x4 0
|
3x1 x2 8x3 2x4 x5 0 |
|||||
|
|
|
12x3 |
5x5 |
0 |
|
17) |
x1 11x2 |
, |
||||
|
x 5x 2x x 3x 0 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
2x1 2x2 2x3 x4 3x5 0 |
|||||
|
|
x2 |
2x3 |
x4 2x5 |
0 , |
|
18) |
3x1 |
|||||
|
x 3x 4x 2x 5x 0 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
x3 5x5 0
19)x1 2x2 3x3 5x4 7x5 0 ,3x1 x2 2x3 2x4 2x5 0
x1 2x2 3x3 x4 x5 0
20)2x1 2x2 6x3 4x4 x5 0,3x1 2x2 3x3 3x4 07x42x1 x2
2x1 x2 x3 x4 1 |
|||||
|
|
2x2 |
x3 4x4 2 ; |
||
x1 |
|||||
x 7x 4x 11x 5 |
|||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
x 7x 9x 4x 2 |
|||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
2x1 2x2 3x3 5x4 4 ; |
|||||
5x 3x 5x 12x 10 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
x 3x x 2x 4 |
|||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
2x1 5x2 4x3 3x4 7; |
|||||
x 2x 3x x 3 |
|||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
x 2x 3x 4x 1 |
|||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
3x1 7x2 2x3 x4 4; |
|||||
2x 5x x 3x 3 |
|||||
|
|
1 |
|
2 3 |
4 |
x 3x x 2x 1 |
|||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
2x1 7x2 4x3 3x4 3. |
|||||
x 4x 3x x 2 |
|||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
Задача 11. Найдите общее решение данной однородной системы уравнений, постройте ее фундаментальную систему решений.
|
x 2x 3x 4x 0 |
|
x 2x x x x 0 |
||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1) |
2x1 4x2 5x3 7x4 0 |
2) |
2x1 x2 x3 x4 x5 0 |
||||||||
|
|
12x2 |
17x3 |
9x4 0 |
|
8x2 |
5x3 5x4 5x5 0 |
||||
|
6x1 |
|
x1 |
||||||||
|
7x 14x 18x 17x 0 |
|
3x x 2x x x 0 |
||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 2 |
3 |
4 |
5 |
20
|
2x1 3x2 x3 5x4 0 |
||||||||
|
|
|
|
6x2 |
2x3 x4 0 |
||||
3) |
4x1 |
||||||||
|
2x |
3x |
5x |
14x |
0 |
||||
|
|
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
10x 15x 3x 7x 0 |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
3x1 4x2 3x3 2x4 0 |
||||||||
|
|
|
|
7x2 |
4x3 3x4 0 |
||||
5) |
5x1 |
||||||||
|
4x |
5x |
5x 3x 0 |
||||||
|
|
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
5x 6x 7x 4x 0 |
||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
x1 2x2 4x3 3x4 0 |
||||||||
|
|
|
|
5x2 |
6x3 4x4 0 |
||||
7) |
3x1 |
||||||||
|
4x |
5x |
2x 3x 0 |
||||||
|
|
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
3x 8x 24x 19x 0 |
||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
3x1 4x2 5x3 7x4 0 |
||||||||
|
|
|
|
3x2 |
3x3 2x4 0 |
||||
9) |
2x1 |
||||||||
|
4x |
11x |
|
13x |
16x 0 |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
||
|
7x 2x x 3x 0 |
||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
2x1 3x2 x3 5x4 x5 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 x2 2x3 7x4 x5 0 |
||||||||
11) |
4x x 6x 14x 3x 0 |
||||||||
|
|
||||||||
|
1 2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|||
|
x 2x 4x 7x 2x 0 |
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
x1 4x2 2x3 3x5 0 |
|||||
|
|
|
9x2 5x3 2x4 x5 0 |
|||
4) |
2x1 |
|||||
|
x 3x x 2x 9x 0 |
|||||
|
|
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
3x |
11x |
5x |
2x |
16x 0 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3x1 2x2 x3 3x4 5x5 0 |
|||||
|
|
|
4x2 3x3 5x4 7x5 0 |
|||
6) |
6x1 |
|||||
|
|
6x2 5x3 7x4 9x5 0 |
||||
|
9x1 |
|||||
|
3x 2x 4x 8x 8x 0 |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x1 2x2 x3 x4 x5 0 |
|||||
|
|
|
x2 x3 2x4 3x5 0 |
|||
8) |
2x1 |
|||||
|
|
2x2 x3 x4 2x5 0 |
||||
|
3x1 |
|||||
|
2x 5x x 2x 2x 0 |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3x1 x2 8x3 2x4 x5 0
10)2x1 2x2 3x3 7x4 2x5 0x1 11x2 12x3 34x4 5x5 05x1 x2 11x3 5x4 3x5 0
x1 x2 3x4 x5 0
12)x1 x2 2x3 x4 0
4x1 2x2 6x3 3x4 4x5 02x1 4x2 2x3 4x4 7x5 0
|
3x1 5x2 2x3 4x4 0 |
|
x1 x2 2x3 3x4 3x5 0 |
|||||||
|
|
|
4x2 |
3x3 5x4 0 |
|
|
2x2 3x3 x4 20x5 0 |
|||
13) |
5x1 |
14) |
2x1 |
|||||||
|
|
2x2 |
5x3 7x4 0 |
|
x3 x4 2x5 0 |
|
||||
|
9x1 |
|
4x2 |
|
||||||
|
5x 9x 2x 0 |
|
x 2x 4x 5x 2x 0 |
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
21
|
x1 x2 10x3 x4 |
x5 0 |
|
2x1 2x2 3x3 |
6x4 |
5x5 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
x2 8x3 2x4 2x5 0 |
|
|
|
|
5x2 |
7x3 3x4 |
8x5 0 |
||||||||||||
15) |
5x1 |
16) |
4x1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3x1 |
3x2 |
12x3 4x4 4x5 0 |
|
6x1 |
7x2 10x3 9x4 3x5 |
0 |
|||||||||||||||
|
6x |
18x |
x |
x |
|
|
0 |
|
|
8x 9x 13x |
|
15x |
2x |
0 |
||||||||
|
|
1 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|||
|
2x1 5x2 4x3 3x4 0 |
|
3x1 6x2 10x3 4x4 2x5 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4x2 |
7x3 |
|
5x4 0 |
|
|
|
|
10x2 17x3 7x4 3x5 0 |
||||||||||
17) |
3x1 |
|
18) |
6x1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
9x2 8x3 5x4 0 |
|
|
|
3x2 |
2x4 4x5 |
0 |
|
||||||||||||
|
4x1 |
|
9x1 |
|
||||||||||||||||||
|
3x 2x 5x 3x 0 |
|
12x 2x x 3x 5x 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
||
|
2x1 4x2 5x3 3x4 0 |
|
x1 2x2 3x3 2x4 6x5 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3x2 |
7x3 6x4 |
18x5 |
0 |
||||
19) |
3x1 6x2 4x3 2x4 |
|
2x1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
8x2 17x3 11x4 0 |
20) |
|
5x2 |
11x3 9x4 |
27x5 0 |
||||||||||||||
|
4x1 |
|
3x1 |
|||||||||||||||||||
|
7x |
|
14x |
14x |
|
|
12x 0 |
|
x 4x 5x |
2x |
6x 0 |
|||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
Задача 12. Выясните, при каких значениях параметров a и b данная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Найдите эти решения.
|
5x |
5 y |
7z |
a |
|
1) |
|
|
y |
3z |
1 |
x |
|||||
|
|
4x |
6 y |
bz |
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4x |
9 y |
6z |
5 |
|
3) |
|
3y |
az |
5 |
|
3x |
|||||
|
|
6 y |
bz |
b |
|
|
x |
||||
|
11x |
7 y |
az |
5 |
|
5) |
|
11y |
7z |
b |
|
13x |
|||||
|
|
y |
z |
1 |
|
|
x |
|
2x |
y |
z |
a |
2) |
|
5 y |
13z |
5 |
14x |
||||
|
bx |
6 y |
6z |
2 |
|
|
|
|
|
|
ax |
2 y |
5z |
b |
4) |
|
4 y |
5z |
1 |
x |
||||
|
17x |
2 y |
6z |
17 |
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
b |
6) |
|
3y |
z |
4 |
x |
||||
|
|
y |
11z |
4 |
|
ax |
22
|
4x |
6 y |
6z |
b |
|
7) |
|
|
ay |
3z |
1 |
x |
|||||
|
|
8x |
6 y |
14z |
7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
11x |
6 y |
7z |
b |
|
9) |
|
|
4 y |
8z |
2 |
9x |
|||||
|
|
|
ay |
3z |
1 |
|
4x |
|
6x |
8 y |
4z |
b |
||
11) |
|
|
5 y |
az |
5 |
|
3x |
||||||
|
9x |
y |
6z |
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
bz |
a |
||
13) |
|
|
5 y |
z |
1 |
|
3x |
||||||
|
|
|
4 y |
7z |
5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
9z |
|
9 |
|
15) |
|
|
y |
z |
|
1 |
ax |
|
|||||
|
|
3x |
5y |
13z |
b |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
y |
z |
|
b |
|
17) |
|
|
5 y |
z |
|
3 |
3x |
|
|||||
|
|
3x |
2 y |
az |
|
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
6 y |
az |
|
b |
|
19) |
|
|
2 y |
2z |
|
3 |
2x |
|
|||||
|
|
|
y |
z |
|
1 |
|
x |
|
|
x |
8y |
4z |
7 |
|||
8) |
|
|
by |
|
|
13 |
|
7x |
|
|
|||||
|
|
|
y |
7z |
a |
|
|
|
7x |
|
|||||
|
2x |
4 y |
6z |
a |
|
||
10) |
|
|
8y |
17z |
13 |
||
4x |
|||||||
|
|
3x |
by |
19z |
11 |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 y |
z |
b |
|
||
12) |
|
3y |
3z |
2 |
|||
3x |
|||||||
|
5x |
ay |
5z |
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
6 y |
13z |
b |
|||
14) |
|
3y |
8z |
3 |
|||
ax |
|||||||
|
|
9 y |
9z |
9 |
|||
|
7x |
||||||
|
7x |
5y |
|
3z |
7 |
||
16) |
|
5y |
|
az |
3 |
||
8x |
|
||||||
|
|
5y |
|
3z |
b |
||
|
7x |
|
|||||
|
x |
5y |
2z |
a |
|
||
18) |
|
2 y |
z |
1 |
|
||
2x |
|
||||||
|
3x |
9 y |
bz |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
13y |
12z |
8 |
|||
|
|
8 y |
|
az |
4 |
||
20) 8x |
|
||||||
|
|
3y |
|
3z |
b |
||
|
x |
|
23
ТЕМА «ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА» Задача 13. Докажите, что векторы a, b, c образуют
базис пространства 3 . Найдите координаты вектора x в этом базисе.
1) |
a (5, 4,1) , |
b ( 3,5, 2) , |
c (2, 1,3) , |
x (7, 23, 4) ; |
2) |
a (2, 1, 4) , |
b ( 3, 0, 2) , |
c (4,5, 3) , |
x (0,11, 14) ; |
3) |
a ( 1,1, 2) , |
b (2, 3, 5) , |
c ( 6,3, 1) , x (28, 19, 7) ; |
|
4) |
a (1,3, 4) , |
b ( 2,5, 0) , |
c (3, 2, 4) , x (13, 5, 4) ; |
|
5) |
a (1, 1,1) , |
b ( 5, 3,1) , |
c (2, 1, 0) , |
x ( 15, 10,5) ; |
6) |
a (3,1, 2) , |
b ( 7, 2, 4) , |
c ( 4, 0,3) , |
x (16, 6,15) ; |
7) |
a ( 3, 0,1) , |
b (2, 7, 3) , |
c ( 4,3,5) , |
x ( 16,33,13) ; |
8) |
a (5,1, 2) , |
b ( 2,1, 3) , |
c (4, 3,5) , |
x (15, 15, 24) ; |
9) |
a (0, 2, 3) , |
b (4, 3, 2) , |
c ( 5, 4, 0) , x ( 19, 5, 4) ; |
10) |
a (3, 1, 2) , b ( 2,3,1) , |
c (4, 5, 3) , |
x ( 3, 2, 3) ; |
||
11) |
a (5,3,1) , |
b ( 1, 2, 3) , |
c (3, 4, 2) , |
x ( 9,34, 20) ; |
|
12) |
a (3,1, 3) , b ( 2, 4,1) , |
c (1, 2,5) , |
x (1,12, 20) ; |
||
13) |
a (6,1, 3) , b ( 3, 2,1) , |
c ( 1, 3, 4) , |
x (15, 6, 17) ; |
||
14) |
a (4, 2,3) , |
b ( 3,1, 8) , |
c (2, 4,5) , |
x ( 12,14, 31) ; |
|
15) |
a ( 2,1,3) , b (3, 6, 2) , |
c ( 5, 3, 1) , |
x (31, 6, 22) ; |
||
16) |
a (1,3, 6) , |
b ( 3, 4, 5) , |
c (1, 7, 2) , |
|
x ( 2,17,5) ; |
17) |
a (7, 2,1) , |
b (5,1, 2) , |
c ( 3, 4,5) , |
|
x (26,11,1) ; |
18) |
a (3,5, 4) , |
b ( 2, 7, 5) , |
c (6, 2,1) , |
|
x (6, 9, 22) ; |
19) |
a (5,3, 2) , |
b (2, 5,1) , |
c ( 7, 4, 3) , |
x (36,1,15) ; |
|
20) |
a (9,5,3) , |
b ( 3, 2,1) , |
c (4, 7, 4) , |
x ( 10, 13,8) . |
24
|
|
Задача 14. Докажите, что каждая из двух данных си- |
|||||||||||||||||||||||||||||
стем векторов e ,e |
2 |
,e |
3 |
и f |
, f |
2 |
, f |
3 |
образует базис простран- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ства |
3 . Найдите матрицу перехода от базиса e ,e |
2 |
,e |
3 |
к ба- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
зису f , f |
2 |
, f |
3 |
, где |
e |
|
(1,0,0), |
|
e |
2 |
(1,1,0), e |
3 |
(1,1,1) , а век- |
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
торы f |
|
, f |
2 |
, f |
3 |
заданы согласно вашему варианту. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
f1 (1, 2,3) , |
f2 |
(0,1, 2) , |
|
|
f3 (0,0,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
f1 (1,0,1) , |
|
f2 |
(0,1,0) , |
|
|
f3 (1,1,0) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
f1 (1,0, 2) , |
f2 |
(1, 2,0) , |
|
|
f3 (1,0,0) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4) |
f1 (1,1,1) , |
|
f2 |
(1, 2,0) , |
|
|
f3 (2,0,0) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5) |
f1 (1,0, 2) , |
f2 |
(2,0,1) , |
|
|
f3 (0,1,0) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6) |
f1 (2,1, 2) , |
f2 |
(1,1,0) , |
|
|
f3 (0,1,0) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7) |
f1 (2, 2,3) , |
f2 |
(2,1,0) , |
|
|
f3 (2, 2, 2) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8) |
f1 (1,1,1) , |
|
f2 |
(2,1, 2) , |
|
|
f3 (2,3,1) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9) |
f1 (1,3,1) , |
|
f2 |
(1,1, 2) , |
|
|
f3 (0,1,0) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10) |
f1 (1, 2,3) , |
f2 |
(0,1, 2) , |
|
|
f3 (1,0,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11) |
f1 (1,0,1) , |
f2 |
(0, 2,0) , |
|
|
f3 (3, 4,0) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12) |
f1 (2,0, 4) , |
f2 |
(1, 2,0) , |
|
|
f3 (3,0,0) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13) |
f1 (1,1, 2) , |
f2 |
(2,1,0) , |
|
|
f3 (0, 2,0) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
14) |
f1 (1,0,3) , |
f2 |
(2,0,5) , |
|
|
f3 (0,1,0) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
15) |
f1 (2,1, 2) , |
f2 |
(4, 2,0) , |
|
|
f3 (0,3,0) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
16) |
f1 (2, 2,3) , |
f2 |
(2,1,0) , |
|
|
f3 (2, 2,5) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
17) |
f1 (2,3,1) , |
f2 |
(2,1, 2) , |
|
|
f3 (1,1,1) ; |
|
|
|
|
|
|
25
18) |
f1 |
(1,3, 4) , |
f2 |
(1,1,5) , |
f3 |
(0,1,0) ; |
19) |
f1 |
(2,1,5) , |
f2 |
(0,1,3) , |
f3 |
(1,1,0) ; |
20) |
f1 |
(4,1,0) , |
f2 |
(1,3,5) , |
f3 |
(2, 2, 2) . |
|
Задача 15. Найдите координаты вектора x в базисе |
||||||
B : |
e |
, e |
, e |
, если он задан в базисе |
B : e , e , e . |
||
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
1) |
e |
5e 2e 4e , |
e |
8e 3e 7e , |
|
e |
4e e 4e |
|
, |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x (9, 3, 7) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
e |
7e 2e 9e |
, e |
3e e 4e , |
|
e |
2e e 2e |
|
, |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||
|
x (6, 5, 3) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
e |
2e 2e 3e |
, e |
6e 3e 7e |
, |
e |
e 2e 2e |
, |
|
||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|||
|
x (4, 9,8) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
e |
3e 4e 5e , |
e |
2e e 2e , |
|
e |
3e 5e 6e , |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
x (6, 4, 7) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
e |
e 2e e |
, |
e |
e 3e 2e , |
|
e |
2e 3e 4e , |
|
||||||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
3 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x (8, 6,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
e |
7e 4e e , |
e |
12e 8e 3e |
, |
|
e 5e 3e e |
, |
|||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
||||
|
x (6, 2,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
e |
5e 2e 2e , |
e |
e e e |
, |
|
e |
3e 2e e |
|
, |
|
|
|||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||
|
x (9,10,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8) |
e |
7e 5e 3e , |
e |
4e 3e 2e |
, |
e |
3e 2e 2e |
, |
|||||||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
||||
|
x (11, 8, 1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9) |
e |
2e 5e |
|
11e |
, e |
3e 7e |
|
16e |
, |
e |
e 3e |
|
7e |
, |
|||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
3 |
|
2 |
1 |
2 |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
x (4, 5,10) ;
26
10) e |
3e |
e |
2e |
, |
e |
8e |
4e |
5e , |
e |
5e |
2e |
3e , |
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
x (10, 6, 5) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11) |
e |
8e |
4e |
3e , e |
e e |
e |
, |
|
|
e |
5e 2e |
e , |
|
|
|||||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
x (8,1, 2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12) |
e |
e 7e 9e , |
e |
e 6e |
8e , |
|
e |
e 5e |
6e |
|
, |
||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
||
|
x (2,8, 7) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13) |
e |
3e 4e 2e , |
e e e |
|
e |
, |
|
e |
7e 8e |
|
5e |
|
, |
||||||||||
|
1 |
|
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
||||
|
x (4, 6, 3) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14) |
e |
6e 2e 9e , |
e |
4e e |
|
5e |
, |
|
e |
5e 2e |
|
8e |
|
, |
|||||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
||||
|
x ( 10, 2, 9) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15) |
e |
5e 6e |
4e |
, e |
6e 8e |
|
5e |
, |
e |
2e e |
e |
|
, |
||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
1 |
2 |
3 |
||||
|
x (7, 9, 5) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16) |
e |
8e 3e |
e , |
e |
5e e |
|
e |
, |
|
e |
7e 2e |
e , |
|
|
|||||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
x (10, 3,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17) |
e |
2e 4e |
e , |
e |
5e 9e |
3e |
, |
e |
2e 3e |
2e |
|
, |
|||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
||
|
x (6, 9, 5) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18) |
e |
2e 6e |
5e |
, e |
3e 8e |
|
|
7e |
, |
e |
e 5e |
|
4e |
|
, |
||||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
||||||
|
x (2,11, 9) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19) |
e |
4e 4e |
3e |
, e |
5e 7e |
4e , |
e |
e 2e e , |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
x (8, 7, 6) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20) |
e |
3e 5e |
4e |
, e |
2e 7e |
|
4e |
, |
e |
e 6e |
3e |
, |
|
||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
x (2,9,5) .
27
Задача 16. В пространстве 3 заданы два линейных оператора A и B : Ax (x2 x3, x1, x1 x3) , Bx (x2 , 2x3, x1) . Найдите матрицу и явный вид следующего оператора:
1) 2 A 3B2 ; |
2) |
A 2AB ; |
3) |
AB 3A ; |
|||
4) 2B 3A2 ; |
5) |
A(2B A) ; |
6) |
BA 2A; |
|||
7) A 3B2 ; |
8) |
B(2 A B) ; |
9) |
A(B 2 A) ; |
|||
10) |
2( AB 2 A) ; |
11) |
B 2 A2 ; |
12) |
3A2 B ; |
||
13) |
2B A2 ; |
14) |
A(B A) ; |
15) |
B2 2 A ; |
||
16) |
B A B2 ; |
17) |
B( A B) ; |
18) |
A BA B ; |
||
19) |
3B 2 A2 ; |
20) |
2 A 2B2 . |
|
|
|
Задача 17. Найдите собственные значения и соответствующие им собственные векторы данной матрицы.
1) |
7 |
2 |
|
2) |
6 |
|
3 |
|
3) |
22 12 |
|
4) |
4 |
2 |
|
|||||||
|
15 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
32 18 |
|
|
|
7 |
|
|||||||
5) |
7 |
2 |
|
6) |
22 |
|
6 |
|
7) |
13 |
3 |
|
8) |
21 |
12 |
|||||||
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
84 23 |
|
|
|
8 |
|
|
|
30 |
17 |
|
||||||
9) |
12 |
10 |
10) |
|
13 |
|
10 |
11) |
22 |
12 |
12) |
25 |
60 |
|||||||||
|
|
|
|
|
15 |
|
12 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
15 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
12 |
29 |
|
|||
13) |
3 |
4 |
14) |
23 |
75 |
15) |
37 |
60 |
16) |
37 |
30 |
|||||||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
18 |
|
|
|
34 |
|
||||||||||
|
|
12 |
11 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
29 |
|
|
42 |
|
||||||
17) |
53 |
40 |
|
18) |
36 |
|
40 |
19) |
|
20 |
28 |
20) |
13 |
6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
29 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
60 |
45 |
|
|
|
|
24 |
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
4 |
|
28