Методическое пособие 107

Таблица 4 Выбор оборудования: матрицы попарных сравнений

для уровня 3, решения и согласованность

Продолжение табл. 4

Приведенные соотношения (1.1), (1.3) означают, что в случае полной согласованности попарных суждений, что выполняются для матрицы, имеющей приведенный на рис. 3 вид, проводимые вычисления восстанавливают истинные веса элементов по результатам попарных сравнений. Это позволяет оценить степень их важности в целом. Полная согласованность попарных сравнений означает, что элементы матрицы A удовлетворяют уравнению aijajk aik .

10

Как уже отмечалось, получаемые на практике матрицы попарных сравнений не являются согласованными. Поэтому требуется оценить степень согласованности высказанных суждений. Полученные соотношения (1.1) – (1.3) определяют возможность подобной оценки степени согласованности суждений для любой обратносимметричной матрицы. Действительно, как следует из соотношения (1.3) для полностью согласованной матрицы A, величина n играет роль собственного числа, соответствующего соб-

~

ственному вектору x. В общем же случае для любой обратносимметричной матрицы A величина наибольшего собственного числа max удовлетворяетнеравенству

max n, A ~x max ~x .

Поэтому величина

ИС max n

n1

вМАИ используется в качестве индекса согласованности. Кроме того, вводится отношение согласованности

OС ИС 100%,

ИСr

где ИСr индекс согласованности, получаемый при усреднении множества данных для матриц попарных сравнений при случайном равновероятном (то есть полностью неосмысленном) выборе количественных значений суждений из шкалы 1/10, 1/9,…, 9, 10, но с сохранением свойства обратной симметрии.

Таблица 5 Индекс согласованности при случайной

оценке сравнений

тается приемлемой, если она имеет значения порядка 20% и

11

менее. Если OС выходит из этих пределов, то можно рекомендовать лицам, формулирующим суждения, пересмотреть их с использованием дополнительной информации. В таблицах 2, 3 приведены значения max , ИС , OС , соответствующие по-

парным оценкам, также приведенным в этих таблицах для данной конкретной задачи.

Таким образом, чтобы оценить степень согласованности реально получаемых в ходе опроса матриц попарных сравнений требуется рассчитать ИС, ОС на основе определения величины max по следующим формулам:

повторяют цепочку выражений (1.1) - (1.3), проводимых для согласованной матрицы A.

После того как, возможно и не с первого раза, получены достаточно согласованные оценки на различных уровнях и их локальные приоритеты, в МАИ осуществляется синтез глобальных приоритетов. Для этого по каждой i-ой альтернативе вычисляется величина

чество элементов, выделенных в иерархии на втором и третьем уровнях.

В табл. 6 приведены итоговые результаты определения приоритетов выбора для различных уровней и полученные глобальные приоритеты, поясняющие смысл формул (1.4), (1.5).

Таблица 6 Выбор оборудования: глобальные приоритеты выбора

Например, для числовых значений, приведенных в табл. 5, глобальный приоритет станка A вычисляется как

Г1 (0,754 0,175) (0,233 0,063) ... (0,072 0,35) 0,378.

Этот станок и был куплен, так как он имеет наивысший приоритет Г1 0,378, тогда как варианты Б и В имеют прио-

ритеты Г2 0,351 и Г3 0,269.

При проведении оценок следует иметь в виду все сравниваемые элементы, чтобы сравнения были релевантными. Нетрудно убедиться в том, что для проведения обоснованных сравнений не следует рассматривать более, чем 7…9 элементов. В таком случае маленькая погрешность в каждой относительной величине меняет ее не очень значительно.

В некоторых задачах при формировании оценок попарных суждений следует учитывать совокупное мнение группы независимых участников опроса. В этом случае каждая оценка aij формируется как геометрическое среднее мнений участни-

ков:

13

где aij(r) r 1,k – мнения k участников опроса.

Для курсовой работы предлагается задача оценки эффективности деятельности машиностроительных предприятий или производства изделий, оценки адекватности технологических процессов, выбора оборудования с целью аренды или покупки в интересах предприятия и т.д. Темы задания выбираются студентом самостоятельно или выдаются преподавателем.

ЗАДАНИЕ 2

МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Теоретические сведения

Линейное программирование - область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью междупеременными.

Линейное программирование возникло в связи с рассмотрением задач нахождения наивыгоднейших вариантов различных производственных решений. В этих задачах имеется большая свобода изменения различных параметров и ряд ограничительных условий. Требуется найти такие значения параметров, которые (с определенной точки зрения) были бы наилучшими. К таким задачам относятся задачи нахождения наиболее рациональных способов использования сырья и материалов, получения максимальной прибыли, повышения эффективности работы транспорта, определения наивыгоднейших режимов выполнения технологических процессов и др.

14

В самом общем виде задачу линейного программирования можно записать следующим образом:

а11 x1 ... a1n xn b1;

.....................................

am1 x1 ... amn xn bm.

Требуется найти такие неотрицательные числа хi 0, которые минимизируют (или максимизируют) линейную функ-

n

цию q ci xi , где n - число неизвестных в системе уравне-

i 1

ний.

Особенностью данной задачи является то, что число уравнений m меньше числа неизвестных n (m < n).

Чаще всего в задаче линейного программирования все или некоторые из уравнений имеют вид неравенств:

Однако такие неравенства легко превратить в уравнения, вводя добавочную переменную xn j с плюсом или минусом в за-

висимости от знака неравенства.

Решение системы уравнений, в которой число переменных n больше числа уравнений m, можно найти, если n - m какихлибо переменных положить равными нулю. Тогда полученную при этом систему уравнений можно решить обычными методами алгебры. Найденное при этом решение называют базисным, а не равные нулю m переменных - базисными. Остальные n - m переменных называют свободными переменными. Однако среди базисных решений будут такие, которые дадут отрицательные значения некоторых базисных переменных, что противоречит условию задачи, поэтому такие решения являются недопустимыми. При нахождении минимального значения целевой функции необходимо из допустимых базисных решений выбрать такое, которое функцию обращает в минимум.

15

В настоящее время разработаны рациональные способы перебора базисных решений, которые позволяют рассматривать не все допустимые базисные решения, а их минимальное число. Наиболее распространенными методами такого перебора являются так называемый симплекс-метод и табличный метод.

Существо симплекс-метода состоит в следующем.

1.Находят какое-либо допустимое базисное решение. Его можно найти, приняв какие-либо n - m переменных за свободные, приравняв их к нулю и решив полученную систему уравнений. Если при этом некоторые из базисных переменных окажутся отрицательными, то нужно выбрать другие свободные переменные, т.е. перейти к новому базису.

2.Проверяют, не достигнут ли уже максимум (минимум) целевой функции при найденном допустимом базисном решении.

3.Если оптимальное решение не найдено, то ищут новое допустимое базисное решение, но не любое, а такое, которое увеличивает (уменьшает) значение целевой функции.

При пользовании табличным методом удобно ввести специальную форму записи уравнений и целевой функции в виде матрицы коэффициентов при свободных переменных. Решение задачи линейного программирования табличным методом заключается в нахождении на первом этапе какого-либо допустимого базисного решения, которое в общем случае не является оптимальным, и преобразовании первоначальной матрицы коэффициентов с целью перехода к лучшему базисному решению.

Для более полного представления о задаче линейного программирования дают ее геометрическую интерпретацию. Проводят геометрическое построение прямых или плоскостей (в зависимости от числа уравнений и неизвестных), соответствующих каждому уравнению системы, вершины образовавшейся фигуры будут соответствовать набору допустимых базисных решений.

16

Задания 2 курсовой работы

Согласно выбранным вариантам задания из табл.1 решить средствами Excel следующую задачу линейного программирования, представленную ниже. Сделать вывод по задаче, провести параметрический анализ и представить результаты решения графически [6, 7].

Вариант 1

Предприятие должно работать 24 часа в сутки, согласно таблице:

Каждый рабочий должен работать 8 часов подряд. Определить такое количество рабочих, вышедших не работу в каждый 4-часовой интервал, при котором общее количество работающих будет минимально.

Вариант 2 Фабрика производит 3 изделия:

Найти наиболее прибыльный план производства изделий. Если появится еще 1 единица сырья А, какую макси-

мальную цену можно за нее заплатить?

17

Вариант 3 Заготовки для деталей А, В и С надо обработать на стан-

ках I и II. При каком плане производства каждого изделия прибыль максимальна?

Какое максимальное дополнительное время использования станка I можно назначить?

Вариант 4 Предприятие производит 4 вида изделий. Суммарное

время использования станков – не более 90 часов, количество поставляемых комплектующих изделий – не более 80 шт. Найти наиболее прибыльный план выпуска изделий.

Можно увеличить время работы станков на 10 часов и платить за аренду $40. Выгодно ли это?

Вариант 5 Имеется 3 завода, способные произвести за месяц 50, 30

и 20 тыс. тонн продукции. Имеется 4 потребителя с потребностями 12, 15, 25 и 36 тыс. тонн. Стоимость перевозки 1 тыс. тонн продукции дана в таблице:

18