динамика

относительна и скорость изменения импульса. Но если мы рассматриваем его в инерциальной системе отсчёта, то справедлив II-й закон Ньютона, и тогда

Fравн = dpdt .

То есть,

в инерциальной СО равнодействующая тела равна скорости изменения его импульса.

И тогда становится понятно, что скорость изменения импульса тела во всех инерциальных СО одинакова. Конечно, это − всего лишь эквивалентная формулировка закона Ньютона. Но в ней, по сравнению с первоначальной, смещены акценты: если в первоначальной формулировке в центре внимание было тело, то теперь внимание сосредотачивается на силе. Если раньше «против» определенного тела могли стоять разные силы, вызывая различные ускорения тела, то теперь против определённой силы стоят различные тела с одинаковой скоростью изменения импульса. Если раньше весь мир заполняли, прежде всего, тела, то теперь, с использованием понятия импульса, весь мир заполняют, прежде всего, силы.

§ 2.6. Импульс системы материальных точек

По определению импульс системы Р − это геометрическая сумма импульсов отдельных материальных точек:

N

P = pi

i =1

Далее до конца главы все рассуждения по умолчанию будут проводиться для инерциальных СО.

Скорость изменения импульса системы материальных точек:

Равнодействующую каждого тела можно разбить на две

суммы: равнодействующую сил, действующих со стороны тел, не

входящих в систему, F ext (от английского "external" − внешний); и

на равнодействующую со стороны соседей по системе, F int (от английского "internal" − внутренний).

действия называется импульсом силы. Поэтому словесная формулировка закона изменения импульса системы следующая:

изменение импульса системы равно импульсу главного вектора внешних сил.

Замкнутой системой называется система, главный вектор внешних сил которой равен 0. Из закона изменения следует закон сохранения импульса замкнутой системы.

§ 2.7. Центр масс системы материальных точек

Не имеет смысла давать словесное определение центра масс системы (рис.2.7), так как его радиусвектор по определению выражается довольно громоздкой формулой:

Рис.2.7

N

mi ri

rцм = i=N1

mi

i=1

Ответ на вопрос «для чего нужен центр масс?» следует из выражения его скорости движения:

где тобщ − общая масса системы. Следовательно,

P = mобщ цм .

То есть центр масс − это такая точка, по скорости которой можно судить об импульсе всей системы. Поскольку скорость изменения импульса системы равна главному вектору внешних сил, то, продифференцировав по времени последнее равенство, получим:

mобщ ацм = F ext .

Следовательно, центр масс замкнутой системы тел будет двигаться с постоянной скоростью относительно инерциальной СО.

Поэтому СО центра масс замкнутой системы инерциальна.

Импульс системы тел относительно СО «центр масс»

P = mобщ цм .

Но в собственной СО скорость центра масс равна 0, ( цм = 0 ).

Следовательно, импульс системы тел относительно собственного центра масс равен 0.

§ 2.8. Соударения

Сохранение импульса имеет место не только в замкнутых системах. Существуют процессы в системах с ненулевым главным вектором внешних сил, в результате которых имеет место сохранение импульса.

Повседневный опыт говорит нам, что очень часто между телами возникают взаимодействия, когда силы, с которыми тела воздействуют друг на друга, значительно превышают сумму внешних сил. Поэтому влиянием внешних сил во время

взаимодействия можно пренебречь. При этом огромные внутренние силы не равны 0, только когда тела находятся очень близко друг от друга. Иными словами, за время этого интенсивного взаимодействия перемещение тел пренебрежимо мало по сравнению с их размерами, то есть, малым является время взаимодействия. Сочетание кратковременности взаимодействия и незначительности влияния внешних сил в течение этого времени позволяют дать следующее определение.

Ударом называется взаимодействие тел настолько кратковременное, что за время его протекания изменение импульса системы взаимодействующих тел является пренебрежимо малым по сравнению с изменениями импульса соударяющихся тел. Таким образом,

при ударе импульс системы соударяющихся тел сохраняется по определению.

Внешние силы просто не успевают изменить импульс системы сколько-нибудь заметно за время соударения. Из закона изменения импульса системы:

описывающей кратковременное интенсивное взаимодействие тел. Существует жёсткая связь между пренебрежением изменением

импульса системы во время взаимодействия и изменением её положения при наличии внешних сил. Если мы пренебрегаем изменением импульса, то есть считаем, что произошёл удар, то мы должны пренебречь и изменением положения; с другой стороны, если мы пренебрегаем изменением положения

системы, то мы должны считать, что произошёл удар, то есть что импульс в этом процессе не изменился.

В отличие от динамического состояния

механическое состояние системы тел задаётся положением и скоростью каждого тела системы. При

рассмотрении соударения нужно сравнивать два механических состояния соударяющихся материальных точек: непосредственно до

(I) и сразу после удара (II). Эти два состояния должны совпадать по положению (рис.2.8).

Никаких механических состояний системы «во время удара» не существует по определению удара. И если мы видим такую «картинку», как на рис.2.8, то мы имеем право записать:

( ) = ( ).

P I P II

Все удары делятся на два типа: упругие и неупругие. Упругими называются удары, при которых сохраняется механическая энергия системы соударяющихся тел. Механической энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий. Последняя является энергией положения или взаимного расположения тел. Однако в процессе удара, как указывалось, положение соударяющихся тел не успевает измениться. Значит, при любом ударе потенциальная энергия автоматически сохраняется, и имеет смысл вести речь только о сохранении кинетической энергии.

Неупругими называются удары, при которых не сохраняется механическая энергия системы соударяющихся тел. Опыт показывает, что при любых неупругих ударах механическая энергия уменьшается. Уменьшение механической энергии в механике называется теплом Q. То есть, при всех неупругих ударах выделяется тепло. Среди множества неупругих ударов обращает на себя внимание один, при котором происходит слияние соударяющихся тел. Такой удар называется абсолютно неупругим.

Удар, при котором соударяющиеся тела до и после соударения движутся по одной прямой, называется центральным.

Нужно отметить, что на практике часто применяется несколько отличное от приведённого ранее определение удара. С практической точки зрения удар − это взаимодействие тел настолько кратковременное, что можно пренебречь влиянием внешних сил,

величина которых сопоставима с величиной силы тяжести на поверхности Земли. При таком определении нужно пользоваться не законом сохранения, а законом изменения импульса, игнорируя силы тяжести на поверхности Земли и сопоставимые с ними внешние силы.

Контрольные вопросы к главе 2

1.Приведите два примера парных неравноправных отношений. (§2.1)

2.Можно ли сказать, что тело находится в состоянии покоя относительно Земли? (§2.1)

3.Как движется тело в состоянии покоя? (§2.1)

4.Трактор безуспешно пытаются вытащить из болота с помощью

двух горизонтальных тросов, угол между которыми равен 60 . Силы натяжения тросов равны 100 кН. Чему равна горизонтальная сила, действующая на трактор со стороны болота? (Ответ: 173 кН) (§2.1)

5.Трактор вытаскивают из болота с помощью двух горизонтальных тросов, угол между которыми равен 60 . Силы натяжения тросов равны 100 кН. Чему равна горизонтальная сила, действующая на трактор со стороны болота, если трактор движется с постоянной скоростью, равной 5 см/с? (Ответ: 173 кН) (§2.2)

6.Мерой неинерциальности СО, базис которой не меняет ориентации относительно инерциальной СО, является отношение ускорения её начала отсчёта относительно инерциальной к ускорению свободного падения на поверхности Земли: a0/g. Считая земную ось инерциальной системой отсчёта, определите меру неинерциальности

экватора. (Ответ: 3,4 10-3) (§2.2)

7.Считая Солнце инерциальной СО, определите меру неинерциальности земной оси. (Ответ: 6 10-4) (§2.2)

8.Автомобиль с четырьмя ведущими колёсами разгоняется по горизонтальной дороге с пробуксовкой, т.е. на его колёса действует сила трения скольжения. Какие рисунки верны? (§2.3)

1) Только 1; 2)Только 2; 3) Ни тот, ни другой; 4) Оба

9. Молоток массой m=0,8 кг ударяет по небольшому гвоздю в вертикальном направлении и забивает его в доску. Скорость молотка непосредственно перед ударом =8 м/с, после удара 0. Продолжительность удара =10-1 с. Чему равна средняя сила удара молотка? Ускорение свободного падения g=10 м/с2. (Ответ: 72 Н) (§2.3)

10.Будет ли у оброненного молотка при падении изменяться ориентация, так чтобы его тяжёлая металлическая головка уходила вниз по сравнению с лёгкой деревянной ручкой? (§2.3)

11.На весах стоит стакан с водой, масса которого составляет 0,35 кг. В воде плавает шарик, на который со стороны воды действует сила Архимеда FA=1 Н. Чему равно показание весов в ньютонах? Ускорение свободного падения g=10 м/с2. (Ответ: 4,5 Н) (§2.4)

12.В каких единицах измеряется скорость изменения импульса в системе СИ? (§2.5)

13.С помощью какого минимального количества единиц СИ можно записать единицу измерения импульса? (Ответ: 2) (§2.5)

14 По гладкому ледяному склону с углом наклона =45 к горизонту скользит белый медвежонок массой т=60 кг. Определить быстроту изменения его импульса (Ответ: 426 Н) (§2.5)

15. Два камня, массы каждого из которых равны 1 кг, брошены одновременно с вершины башни. Один – горизонтально, второй – вверх под углом к горизонту, равным 30 . Начальные скорости камней по величине равны 10 м/с. Чему равно изменение импульса первого камня к моменту времени, когда второй камень оказался на первоначальной высоте. (Ответ: 10 Н с) (§2.5)

16. Выберите правильный вариант ответа. (§2.6) Импульс системы Земля-Луна изменяется…

а. благодаря влиянию Солнца б. из-за гравитационного воздействия Земли

в. из-за гравитационного воздействия Луны г. из-за гравитационного взаимодействия Земли и Луны

17.Два альпиниста, связанные лёгким канатом, сорвались и скользят по гладкому склону с углом наклона к горизонту 30º. Масса одного из них равна 65 кг, масса второго 85 кг. Чему равна скорость изменения импульса системы «альпинисты»? (Ответ: 750 Н) (§2.6)

18.Может ли Ваш центр масс находиться вне вашего тела? (§2.7)

19.Являются ли понятия «центр масс» и «центр тяжести» тождественными? Приведите примеры. (§2.7)

20.На гладком горизонтальном столе стоит твердый невесомый клин с длиной наклонной плоскости, равной 30 см и углом наклона к горизонту 300. Два груза: первый массой 100 г, второй – 200 г, связанные

натянутой нитью, перекинутой через блок у вершины клина, в начальном состоянии неподвижны. Первый груз находится на наклонной плоскости, а второй − у вершины. После того, как грузы отпустили, второй груз переместился к подножью клина, а первый к его вершине. На сколько переместился клин? (Ответ: 4,3 см) (§2.7)

21.На гладком горизонтальном столе лежит тонкое кольцо массой 20 г и радиусом 5 см. По кольцу начинает ползти жук массой 5 г. По какой траектории относительно стола он будет двигаться? (Ответ: r=4 см) (§2.7)

22.Известны массы m1 и m2 материальных точек, испытывающих упругий центральный удар друг с другом. Известны их налетающие

скорости: 1 и 2, направленные вдоль оси х. Определить скорости разлёта u1 и u2 материальных точек.

23. Доказать, что из всех случаев центрального неупругого соударения двух данных тел, одно из которых неподвижно, а второе налетает с определённой скоростью, наибольшая потеря механической энергии происходит в абсолютно неупругом ударе. (§2.8)