- •Электрическая емкость уединенного проводника
- •Взаимная электроемкость. Конденсаторы
- •Энергия заряженного уединенного проводника, конденсатора. Энергия электростатического поля
- •Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца.
- •Правила Кирхгофа для разветвленных цепей.
- •Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля.
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВО «КНИТУ»)
КАФЕДРА ФИЗИКИ
Т.Ю. Миракова., В.С. Минкин, Е.С. Нефедьев
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Учебное пособие
КАЗАНЬ 2018
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВО «КНИТУ»)
КАФЕДРА ФИЗИКИ
Т.Ю. Миракова, В.С. Минкин, Е.С. Нефедьев
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Учебное пособие
КАЗАНЬ 2018
Составители: доц. Т.Ю.Миракова
проф. В.С. Минкин
проф. Е.С. Нефедьев
Электричество и электромагнетизм. Основные законы и примеры решения задач. Учебное пособие / Т.Ю. Миракова, В.С. Минкин, Е.С. Нефедьев; М-во науки и высшего образ. РФ. Казан. нац. исслед. гехнол. ун-т. – Казань: КНИТУ, 2018. – с.
Данное учебное пособие включает в себя теоретический материал, а также подробное изложение решения задач по физике, раздел «электричество и электромагнетизм».
Предназначено для студентов, обучающихся по программе бакалавриата всех специальностей и всех форм обучения, изучающих дисциплину «Физика».
Учебное пособие подготовлено на кафедре физики КНИТУ.
Печатается по решению методической комиссии по циклу физико-математических дисциплин.
Введение
Что делать, если «просто решать» задачи не получается? Самый эффективный способ научить решать задачи – это просто показать, как они решаются, а самый эффективный способ научиться решать задачи – это просто их решать. Со временем «количество» перейдет в «качество» и возникнет желание искать решение все более сложных задач как по физике, так и связанных с профессиональной деятельностью.
При изложении решений многих задач мы ставили целью пройти весь путь вместе с читателем. В пособии рассматриваются задачи из «Сборника задач по общему курсу физики. Изд.3-е.-СПб.:Книжный мир, 2007.-328с.
Электричество и электромагнетизм
1. Электростатика
1.1Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля. Потенциал электрического поля Потенциальная энергия взаимодействия зарядов. Работа по перемещению заряда в электрическом поле.
В электростатике рассматриваются взаимодействия и свойства электрических зарядов, неподвижных в той системе системе координат, в которой эти заряды изучаются. Как известно, существуют два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные. Согласно закону сохранения заряда для электрически замкнутой системы, электрические заряды не возникают и не исчезают, они могут быть лишь переданы от одного тела другому. Из закона сохранения заряда следует, что в любом нейтральном веществе имеются заряды обоих знаков в равных количествах.
Экспериментально установлено, что электрический заряд любого тела состоит из целого числа элементарных зарядов, равных 1,6*10-19 Кл. Наименьшая частица, обладающая элементарным отрицательным зарядом, называется электроном.
Закон Кулона.
Основной закон взаимодействия зарядов был экспериментально установлен в 1785 году Ш. Кулоном.
,
где q1 и q2 –величина первого и второго зарядов, ε –диэлектрическая проницаемость среды, ε0 –электрическая постоянная, r- расстояние между зарядами.
Таким образом, сила электростатического взаимодействия двух точечных электрических зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. При прочих равных условиях, сила взаимодействия зависит от свойств среды, в которой заряды находятся. Диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в вакууме больше, чем в данной среде.
Напряженность электрического поля образованного точечным зарядом q:
,
где r- расстояние от заряда до точки, где определяется напряженность электрического поля.
Напряженность электрического поля образованного бесконечной однородно заряженной нитью с линейной плотностью заряда τ:
где r- кратчайшее расстояние от нити до точки, где определяется напряженность электрического поля.
Напряженность электрического поля образованного бесконечной однородно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ:
Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме:
;
где ρ - объемная плотность заряда.
Потенциал электрического поля образованного точечным зарядом q:
Работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:
А=q (φ1 –φ2 ),
где φ1 и φ2 – потенциал электрического поля в точках 1 и 2.
Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом: = -grad φ
Потенциальная энергия системы электрических зарядов:
W= ,
где φi – потенциал поля, созданного в точке, где находится i-ый заряд, всеми другими зарядами.
Для однородного поля
(φ1 –φ2 )=U=E*d, где d- расстояние между точками, где определяется разность потенциалов.
№9.16
Во сколько раз сила гравитационного притяжения между двумя протонами меньше силы их электростатического отталкивания? Заряд протона равен по модулю и противоположен по знаку заряду электрона.
Дано: mp=1,67*10-27 кг, qp= 1,6*10-19Кл.
Найти: FКул / Fгр?
По закону всемирного тяготения сила гравитационного взаимодействия определяется по формуле:
Fгр= G ,
где гравитационная постоянная G=6,67*10-11 Н*м2 /кг2
По закону Кулона:
,
Отсюда,
Ответ:
№9.20
Рис.1
В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Каждый заряд q=1,5нКл, сторона шестиугольника а=3см.
Дано: q=1,5
Найти Е.
Пусть положительные заряды занимают положения 1, 2, 3, а отрицательные – 4, 5, 6 согласно рис.1.
Векторы напряженности положительных зарядов направлены от зарядов, а векторы напряженности отрицательных зарядов направлены к зарядам. По модулю напряженности полей отдельных зарядов равны и определяются по формуле:
, причем для воздуха ε=1.
По принципу суперпозиции полей:
Из рис. 1 видно, что угол между векторами и векторами равен 600 . Соответственно, проекция суммы векторов на направление векторов равна Аналогичное выражение получается и для проекции суммы векторов ( ) на направление векторов . Отсюда следует, что напряженность электрического поля всех зарядов направлена вдоль векторов и равна по модулю: Е= .
E= .
Ответ: Е=60
9.29. На рис.2 бесконечная заряженная плоскость обозначена буквами АА, а одноименно заряженный шарик обозначен буквой В. Масса шарика 1г, заряд равен 1нКл, поверхностная плотность заряда плоскости σ=40мкКл/м2 . Какой угол α с плоскостью АА образует нить, на которой висит шарик?
Дано: m=10-3кг, q=10-9Кл, σ=40*10-6Кл/м2.
Найти угол отклонения нити α.
На шарик В действуют три силы: сила натяжения нити , сила тяжести и со стороны электрического поля плоскости АА сила (рис.2). Шарик находится в состоянии покоя, следовательно, по первому закону Ньютона:
. (1)
Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости определяется по формуле: , причем для воздуха ε=1. Тогда сила, действующая со стороны электрического поля плоскости АА на шарик В равна: .
Направим ось x вправо по горизонтали, а ось y вверх по вертикали. Тогда, в проекциях на оси x и y уравнение (1) перепишется в виде:
Ox: F – Tsinα = 0 (2)
Oy: - mg +Tcosα =0 (3)
Поделим уравнение (2) на уравнение (3):
,
tgα= , tg
Ответ: α =arctg(0,226) ≈13 0.
9.51.
Определить напряженность поля внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса R. Oбъемная плотность заряда внутри цилиндра равна ρ. Дано: R, ρ. Найти Е( r).
Рис.3
Из условия задачи следует, что электрическое поле, созданное заряженным равномерно цилиндром, обладает осевой симметрией. Силовые линии поля, то есть линии напряженности, перпендикулярны оси цилиндра и радиально расходятся от оси (рис.3).
По теореме Гаусса для электрического поля в вакууме:
(4)
Мысленно вырежем в пространстве цилиндр высотой L и радиусом оснований r. Высота цилиндра должна быть значительно меньше длины заряженного цилиндра, создающего поле (рис.3), а ось совпадать с его осью. Интеграл по замкнутой поверхности цилиндра в формуле (1) можно разбить на три: поток вектора сквозь верхнее основание цилиндра, поток вектора сквозь нижнее основание цилиндра и поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра.
+ + . (5)
Интегралы по верхнему и нижнему основаниям цилиндра равны нулю, так как вектор перпендикулярен нормали, проведенной к верхнему и нижнему основаниям цилиндра и скалярное произведение EdScos900 в этих случаях обращается в ноль. Остается интеграл по боковой поверхности цилиндра. Все точки боковой поверхности цилиндра равноправны, тогда Е для данного значения r можно считать постоянной величиной. Тогда:
ErdScos0=Er2πrL, (6)
где r и L – радиус и высота вспомогательного цилиндра.
Рассмотрим случай, когда r<R. Заряд, сосредоточенный внутри цилиндра, будет равен объемной плотности заряда ρ, умноженной на объем цилиндра:
q=ρπr2L. (7)
С учетом формул (6) и (7) по теореме Гаусса получаем:
Er2πrL= ρπr2L/ε0,
Er =
В случае, когда , q= ρπR2L и по теореме Гаусса:
Er2πrL= ρπR2L/ε0,
Er = .
На рис.4 представлен график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра.
Рис.4 Ответ: r<R, Er =
, Er =
9.54. Шарик массой m=40мг, имеющий положительный заряд q=1нКл, движется со скоростью v=10см/с. На какое расстояние r может приблизиться шарик к положительному закрепленному точечному заряду q0=1,33нКл?
Дано: m=4*10-5 кг, q=10-9 Кл, v=0,1м/c, q0=1,33*10-9Кл .
Найти r.
Положительно заряженный закрепленный шарик создает вокруг себя электрическое поле с потенциалом:
По закону сохранения энергии кинетическая энергия движущегося шарика при приближении к другому шарику переходит в потенциальную энергию:
Следовательно,
r= =0,0598м≈6см
Ответ: 6 см
9.61. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под действием этого поля от точки, находящейся на расстоянии r1=1см от нити, до точки r2=4см, α-частица изменила свою скорость от v1=2*105м/с, до v2=3*106м/с. Найти линейную плотность заряда τ на нити.
Дано: r1=1см=0,01м, r2=2cм=0,02м, m=6,64*10-27кг, q=3,2*10-16Кл, v1=2*105м/с, v2=3*106м/с.
Найти: τ.
α-частица представляет собой ядро атома гелия, заряд которой равен двум зарядам протона, а масса равна сумме масс двух протонов и двух нейтронов. Работа поля определяется по формуле:
Напряженность поля, созданного бесконечной заряженной нитью, определяется по формуле:
Тогда А=
По закону сохранения энергии работа поля пошла на увеличение потенциальной энергии α-частицы.
Отсюда, линейная плотность заряда на нити равна:
τ=
τ=3,7
Ответ; τ=3,7
9.74. Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха пылинка падает с постоянной скоростью v1=2cм/с. Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U=3кВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние L пылинка пролетит по вертикали до попадания на пластину? Расстояние между пластинами d=2см, масса пылинки m=2*10-9г, ее заряд равен q=6,5*10-17Кл.
Дано: v1=2см/с=0,02м/с, U=3кВ=3*103В, d=2см=0,02м, m=2*10-12кг, q=6,5*10-17Кл.
Найти t, L.
После подачи на пластины разности потенциалов на пылинку действуют сила тяжести, сила сопротивления среды и сила со стороны электрического поля. По второму закону Ньютона:
(8)
Пусть ось х направлена по горизонтали вправо, а ось у по вертикали вверх. Перепишем уравнение (8) в проекциях на оси х и у.
х: ma=Fэл (9)
у: Fc - mg=0 (10)
Fэл=qE, где Е –напряженность электрического поля внутри конденсатора. Электрическое поле конденсатора является однородным, а для однородного поля
Следовательно, a= a= . (12)
По условию задачи начальная скорость пылинки направлена вниз и не имеет горизонтальной составляющей. Тогда кинематическое уравнение движения по оси х запишется так:
X , где х=d/2. (13)
С учетом формул (12) и (13):
, t=d
t= с.
y=l=v1t, l= .
Ответ: t= 3,2 ; y=6,4 м
9.6. Напряженность электрического поля как функция координат имеет вид . Определить плотность зарядов создающих такое поле.
Дано:
Найти: (x,y,z).
По теореме Остроградского-Гаусса:
По определению:
,
тогда по теореме Гаусса для электрического поля в вакууме:
;
ρ = .
Ответ: .
9.8
Решение:
по определению
.
Отсюда:
, , , .
По аналогии:
Если положить при x=0, y=o, z=0 const=0,то
φ(x,y,z) = -(ax +by +cz).
1.2 Электроемкость. Параллельное и последовательное соединение конденсаторов.
Электрическая емкость уединенного проводника
Уединенным называется проводник, вблизи которого нет других заряженных тел, диэлектриков, которые могли бы повлиять на распределение зарядов данного проводника.
Отношение величины заряда к потенциалу для конкретного проводника есть величина постоянная, называемая электроемкостью (емкостью) С:
. (14)
Таким образом, электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который необходимо сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на единицу. Опыт показал, что электроемкость уединенного проводника зависит от его геометрических размеров, формы, диэлектрических свойств окружающей среды и не зависит от величины заряда проводника.
Рассмотрим уединенный шар радиуса R, находящийся в однородной среде с диэлектрической проницаемостью . Ранее было получено, что потенциал шара равен . Тогда емкость шара
, (15)
т.е. зависит только от его радиуса.
За единицу емкости принимается 1фарад (Ф). 1Ф - емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменится на 1В при сообщении заряда 1Кл.
Уединенные проводники даже очень больших размеров обладают малыми емкостями. Емкостью в 1Ф обладал бы уединенный шар радиуса, в 1500 раз большего радиуса Земли. Электроемкость Земли составляет 0.7 мФ.
Взаимная электроемкость. Конденсаторы
Пусть вблизи заряженного проводника А находятся незаряженный проводник или диэлектрик. Под действием поля проводника А в другом теле возникнет индуцированный или связанные (если диэлектрик) заряды, причем ближе к А будут располагаться заряды противоположного знака. Индуцированные (или связанные) заряды создают свое поле противоположного направления, чем ослабляют поле проводника А, уменьшая его потенциал и увеличивая его электроемкость.
На практике существует потребность в устройствах, которые при относительно небольшом потенциале накапливали (конденсировали) бы на себе заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, положен факт, что емкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Простейший плоский конденсатор состоит из двух близко расположенных проводников, заряженных равными по величине и противоположными по знаку зарядами. Образующие данную систему проводники называются обкладками.
Для того, чтобы поле, создаваемое заряженными обкладками, было полностью сосредоточено внутри конденсатора, обкладки должны быть в виде двух близко расположенных пластин, или коаксиальных цилиндров, или концентрических сфер. Соответственно конденсаторы называются плоскими, цилиндрическими или сферическими.
Разность потенциалов между обкладками пропорциональна абсолютной величине заряда обкладки. Поэтому отношение есть величина постоянная для конкретного конденсатора. Она обозначается С и называется взаимной электроемкостью проводников или емкостью конденсатора. Емкость конденсатора численно равна заряду, который нужно перенести с одной обкладки конденсатора на другую, чтобы изменить разность их потенциалов на единицу.
Разность потенциалов плоского конденсатора равна , где поверхностная плотность заряда обкладки. S - площадь обкладки конденсатора.. Отсюда емкость плоского конденсатора:
. (16)
Из этой формулы следует, что С плоского конденсатора зависит от его геометрических размеров и диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего межплоскостное пространство.
Для получения устройств различной электроемкости конденсаторы соединяют параллельно и последовательно.
Параллельное соединение конденсаторов. Соединенные провода-проводники имеют один и тот же потенциал, поэтому
разность потенциалов на обкладках всех конденсаторов одинакова и равна . Заряды конденсаторов будут
, … , .
Заряд, запасенный всей батареей .
Отсюда следует, что полная емкость системы из параллельно соединенных конденсаторов:
(17)
равна сумме емкостей всех конденсаторов.
Последовательное соединение конденсаторов.
В данном случае, вследствие электростатической индукции,
заряды на всех обкладок q будут равны по модулю, а общая разность потенциалов складывается из разностей потенциалов на отдельных конденсаторах . Так как , то . Отсюда:
. (18)
При последовательном соединении конденсаторов обратная величина результирующей емкости равна сумме обратных величин емкостей всех конденсаторов.