9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8
.pdfПример: Вычислить длину дуги логарифмической спирали
r = aemj (a > 0), 0 £ j £ 2p |
(ðèñ. 18.10). |
|
||||||
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
l = ò a2e2mj + a2m2e2mj dj = |
|||||
|
|
|
l |
0 |
|
|
|
|
|
O |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2p |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= a 1 + m2 ò emj dj = |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
= |
|
a 1 + m2 |
|
- 1 |
|
Ðèñ. 18.10 |
|
|
|
e |
2mp |
m
18.3.4. Формула дифференциала дуги
Используя теорему о производной интеграла с переменным
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
верхним |
пределом, |
äëÿ |
|
l(x) = ò |
¢ |
2 |
имеем |
|
|
1 + [y (x)] dx |
|||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
¢ |
¢ |
2 |
£ b. Отсюда получаем формулу для диф- |
|||||
l (x) = 1+[y (x)] , a £ x |
||||||||
|
|
|
¢ |
2 |
dx. |
|
|
|
ференциала дуги dl = 1+[y (x)] |
|
|
|
При параметрическом задании кривой L dl = [ x¢(t)]2 +[y¢(t)]2 dt.
Дифференциал дуги может быть записан и через dx и dy: dl = (dx)2 + (dy)2 .
Литература: [1. C. 275–300]; [5. C. 291–310]; [6. C. 360–405]; [7. C. 197–214].
При g(x) = x интеграл Римана—Стилтьеса является интегралом Римана. Свойства интеграла Римана—Стилтьеса аналогичны свойствам интеграла Римана. Справедлива следующая оценка:
b
ò f (x) dg(x) £ MV ba [g],
a
где М — наибольшее значение f(x) на [a, b]. Если g(x) имеет в каждой точке [a, b] производную g¢(x), интегрируемую по Риману (на-
bb
пример, g¢(x) непрерывна), то ò f (x) dg(x) =ò f (x)g¢(x) dx.
aa
Аналогично несобственным интегралам Римана определяются и несобственные интегралы Римана—Стилтьеса.
Можно обобщить также интеграл Лебега, вводя меру и интеграл Лебега—Стилтьеса [16. C.335].
Литература: [15. C. 56–129, 191–226]; [16. C. 235–351].