С.Ю. Семенова Е.А. Согрина - Начертательная Геометрия 2009
.pdfОсновы начертательной геометрии
Теоретические основы построения чертежа
В основу изображения любого предмета на чертеже положен метод проекций.
Точки пересечения лучей, проводимых через характерные точки предмета, с плоскостью называются проекциями точек, а плоскость, на которую проецируются точки,
плоскостью проещий.
На рисунке 8 через точку А проводится проецирующий луч, в точке пересечения его с плоскостью проекций 77/ получается проекция точки - А 1 .
В техническом черчении применяют метод ортогонального проецирования.
Плоскости проекций перпендикулярны между собой, проецирующие лучи перпендикулярны плоскостям проекций (на рисунке 9 А-Аь А-А2; А-Аз).
Для получения плоского чертежа (эпюра) плоскости проекций совмещаются в одну плоскость путем поворота вокруг линий их пересечения - осей проекций ox, оу, oz На рисунке 10 показан эпюр трех плоскостей проекций.
Z |
z |
П2 |
Лз |
0
П) - горизонтальная плоскость проекций П2 - фронтальная плоскость проекций П3 - профильная плоскость проекций
У
Рис. 10
AJ - горизонтальная проекция точки А
А2 —фронтальная проекция точки А
А3 - профильная проекция точки Л
На эпюре (рис. 11) проекции точки всегда находятся в проекционной связи. Линии проекционной связи перпендикулярны соответствующим осям проекций:
А 2А j JL ox; А 1А 3 1 оу; А 2А3 1 oz.
Ах,А у,А г - проекции точки А на оси проекций, или точки связи.
Эпюр точки А в системе трех плоскостей проекций приведен на рисунке 11, в системе двух плоскостей проекций - на рисунке 12.
11
Основы начертательной геометрии
Положение точки на чертеже задают с помощью координат х, у, z (рис. 9, 11, 12).
Z
А2
Рис. 12
К оординат а т очки - это расстояние от точки до соответствующей плоскости проекций:
л: - расстояние от точки до профильной плоскости проекций (Пз). у - расстояние от точки до фронтальной плоскости проекций (Дг).
z - расстояние от точки до горизонтальной плоскости проекций (Щ).
На рисунке 13 точка А, например, имеет координаты: А (37;20;25).
|
Z |
|
|
А2 |
AZ |
Аз |
а2 |
|
25< |
|
2S. |
Ах |
37 |
|
37 |
А |
|
||
---- гР------------ ^ |
J‘А, |
х-Аьк. |
|
|
0 |
о |
-------
* 1
А >
У
Ai
Рис. 13
Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций. По двум проекциям геометрического объекта (например, точки) всегда можно построить третью (рис. 13).
12
Основы начертательной геометрии
Проецирование прямой линии
Положение прямой линии в пространстве определяется положением двух ее точек. Значит, достаточно построить проекции этих двух точек (точки А и В) и, соединив их одноименные проекции, полупить проекцию прямой а (рис. 14).
►Отметим, что если точка принадлежит прямой, то её проекции принадлежит одноименным проекциям прямой.
Например, точка D принадлежит прямой АВ, значит её проекция Dj принадлежит проекции AjB\ а проекция Z>2 - проекции А 2В2 (рис. 15).
D еАВ, значит
D/G AiB\, D2& А2В2
cii - горизонтальная проекция прямой а\ а2 - фронтальная проекция прямой а; аз - профильная проекция прямой а.
Рис. 15
Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различные положения:
•не параллельное ни одной из плоскостей проекций;
•параллельное одной из плоскостей проекций (или прямая может принадлежать этой плоскости);
•параллельное двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярное третьей. Изображенная на рисунке 14 прямая наклонена ко всем плоскостям проекций и
называется прямой общего п о ло ж ен и я . Любая из проекций такой прямой меньше её истинной величины.
Прямая, параллельная или перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется прямой част ного полож ения.
I. Прямые у р ов н я -это прямые, параллельны е одной плоскости проекций и наклоненные к двум другим:
13
Основы начертательной геометрии
1)Горизонталь - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, h ЦП! (наклонена к двум другим П2 и Пз) (рис. 16)
Признак:
h2 Ц ох
Свойства:
AjBi = и.в. z = const
(р = и.в.
2) Фронталь - прямая, параллельная фронтальной плоскости |
проекции, |
/ // П2 (наклонена к П2 иПз) (рис. 17) |
|
Признак: |
|
f i l l |
ОХ |
Свойства:
А2В2 = и.в.
у = const
(р = и.в.
3) Профильная прямая - прямая, параллельная профильной плоскости проекций, р // Пз (наклонена к П] и П2) (рис. 18)
Z
Признак:
р 2 А ох pi А ох
Свойства:
А3В3 = и.в.
х = const
Рис. 18 Все эти прямые проецируются в истинную величину на ту плоскость проекций,
которой они параллельны (рис. 16, 17, 18).
14
Основы начертательной геометрии
И. П р о е ц и р у ю щ и е п р я м ы е - это прямые перпендикулярны е одной плоскости проекций (и следовательно, параллельные двум другим):
1)Горизонтально-проецирующая - прямая, перпендикулярная горизон тальной плоскости проекций, АВ ± П\ (рис. 19);
У
Рис. 19 2) Фронтально-проецирующая - прямая, перпендикулярная фронтальной
плоскости проекций, CD 1 П2 (рис. 20);
Z
Рис. 20
3)Профильно-проецирующая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций, (EF) JL Пз (рис. 21).
15
Основы начертательной геометрии
Все эти прямые проецируются в точку на ту плоскость проекций, которой они перпендикулярны (рис. 19, 20, 21).
Взаимное расположение прямых
Прямые могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. На эпюре взаимное расположение прямых определяют по положению проекций:
•если одноименные проекции прямых параллельны, то прямые - параллельны (рис. 22, а);
•если одноименные проекции прямых пересекаются и проекции точки пересечения проекций прямых лежат на одной линии проекционной связи, то прямые -
пересекаются (рис. 22, б);
•если точки пересечения проекций прямых не лежат на одной линии проекционной связи или проекции не имеют общей точки, то прямые - скрещиваются (рис. 22, в).
а) а IIb |
б) сПе =К |
в) т —п |
Рис. 22
Проецирование плоскости
Из школьного курса геометрии известны различные способы задания плоскости: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 23); б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; в) двумя параллельными прямыми; г) двумя пересекающимися прямыми; д) любой плоской фигурой.
В начертательной геометрии плоскость можно задать проекцией (а; на рис. 25).
а) ц(А;В;Е) |
б) р(а;Е) |
в) p(allb) |
г) ju(aC\c) |
д) р(ААВЕ) |
Рис. 23
16
Основы начертательной геометрии
Все способы задания плоскости равнозначны. При решении задач всегда можно перейти от одного способа задания плоскости к другому.
В техническом черчении обычно применяют задание плоскости какой-либо плоской фигурой, например, треугольником (рис. 24).
Относительно плоскостей проекций плоскость может занимать различное положение.
Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего п о ло ж ен и я . Эпюр такой плоскости приведен на рисунке 24.
Z Z
Рис. 24
Теорема 1: «Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости».
Теорема 2: «Прямая принадлежит плоскости, если она: а) проходит через две точки этой плоскости
или б) проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-либо прямой этой плоскости».
Применение этих теорем рассмотрено на рисунке 24.
По данной фронтальной проекции точки D (D2), принадлежащей плоскости а(ААВС), построены горизонтальная и профильная проекции (Dj и D3). Для этого через точку D проведена вспомогательная прямая В-1 (теорема 1), принадлежащая плоскости а(ААВС) (теорема 2 а).
Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются плоскостями част ного п о ло ж ен и я .
17
Основы начертательной геометрии
I. Пр оецирующие плоскости - это плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций и расположенные под углом к другим плоскостям проекций.
Так как плоскость а 1 Пь то она проецируется на /7/ в прямую линию. Эта прямая обладает «собирательным свойством», т.е. горизонтальная проекция плоскости (а/) собирает горизонтальные проекции всех геометрических фигур, лежащих в плоскости а.
2) Фронталъно-проецирующая плоскость Р -LII2 (рис. 26).
Рис. 26 Фронтальная проекция этой плоскости (Р2) обладает «собирательным
свойством».
3) Профильно-проецирующая плоскость у J.II3 (рис. 27).
Профильная проекция этой плоскости (уз) обладает «собирательным свойством».
18
Основы начертательной геометрии
И. Плоскости уровня - это плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций (и следовательно, перпендикулярные двум другим).
1) Горизонтальная плоскость а Ц П 1 (следовательно, a J.II2 и а 1 Пз) (рис. 28).
Фронтальная (а$ и профильная (аз) проекции плоскости обладают «собирательным свойством».
2) Фронтальная плоскостьр //#2 (следовательно, р 1П]И р J .Пз) (рис. 29).
Рис. 29 р1 ирз - проекции плоскости, обладающие «собирательным свойством».
3) Профильная плоскость у //Пз (следовательно, у ЛП]му JLП2) (рис. 30).
У1 ИУ2 - проекции плоскости, обладающие «собирательным свойством».
19
Основы начертательной геометрии
Взаимное расположение плоскостей
Плоскости в пространстве могут быть параллельны и могут пересекаться:
1. Плоскости параллельны - р Ца; Теорема: «Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум
пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны».
Пересекающиеся прямые а и Ь плоскости р соответственно параллельны пересекающимся прямым АВ и АС плоскости а (рис. 31), так как параллельны их одноименные проекции
|
|
(а ЦАВ; Ъ ЦАС). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, |
|
|
заданные |
|||
|
|
плоскости |
|
|
параллельны |
|||
|
|
О91/а). |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 31 |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Плоскости пересекаются - а ( А А В С ) П р ( а П Ь ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если плоскости пресекаются, то можно построить линию пересечения |
|||||||
плоскостей (рис. 32). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если хотя |
бы |
одна из |
||||
|
|
плоскостей |
частного |
положе- |
||||
|
|
ния, то линию |
пересечения |
|||||
|
ь2 |
плоскостей строим следующим |
||||||
|
|
образом. |
|
|
|
|
|
|
X |
|
На |
рисунке |
32 |
плос- |
|||
0 |
кость р (а ПЬ) горизонтально- |
|||||||
|
|
проецирующая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
сначала |
нахо |
||||
|
|
дим горизонтальную проекцию |
||||||
|
|
линии пересечения (11 ). Она |
||||||
|
pf=af=bfEl 7 |
совпадает |
с |
p i |
в |
силу |
||
|
«собирательного |
|
|
свойства» |
||||
|
|
ПЛОСКОСТИ |
р . |
|
|
|
|
|
|
|
Фронтальную проекцию |
||||||
|
l = a ( A A B C ) n fi( aC) b) |
линии пересечения (h ) |
найдем |
|||||
|
из условия принадлежности ее |
|||||||
|
|
плоскости |
а ( А А В С ) |
по |
||||
|
Рис. 32 |
двум общим точкам. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
20