Раздел I
Интегральное исчисление функций нескольких переменных
Введение
Данный раздел состоит из 4-х глав и содержит изложение материала, связанного с новыми типами интегралов: кратных, криволинейных и поверхностных. Обоснование необходимости введения этих новых понятий приводится в начале каждой главы путем постановки и решения задач геометрического, механического и технического содержания.
В первых трех главах изучаются свойства новых типов интегралов и методы их вычисления, а также приложения в различных дисциплинах.
Четвертая глава посвящена основным элементам теории скалярных и векторных полей. Свойства, характеристики и особенности этих полей изучаются с помощью кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, введенных в начале этого раздела.
Глава 1. Кратные интегралы
1.1. Двойной интеграл
Множество разнообразных задач физического и геометрического содержания, возникающих при исследовании законов природы и функционирования технических систем, приводят к понятию двойного интеграла. Рассмотрим некоторые из таких задач.
1.1.1. Вычисление объема цилиндрического тела
Введем понятие цилиндрического тела. Пусть задана функция = ( , ),
непрерывная в области 2 и ( , ) ≥ 0 ( , ) . |
|
В системе координат рассмотрим тело T, ограниченное сверху |
|
поверхностью = ( , ), снизу – областью на плоскости |
и с боков - |
цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси (рис. 1.1). Такое тело будем называть цилиндрическим телом.
Найдем объем цилиндрического тела T.
Z = ( , )
T
Рис. 1.1. Изображение цилиндрического тела
2
|
|
Для решения этой задачи мы сначала |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
разобьем произвольным образом область |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сетью кривых на частичные области , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, … , (рис. 1.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= … . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее рассмотрим цилиндрические |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
«столбики» с этими частичными основаниями , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которые в совокупности составляют данное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
цилиндрическое тело T. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
При этом объем тела T будет равен сумме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
объемов этих цилиндрических «столбиков»: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= + + … + = |
∑ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
Разбиение области |
|
|||||||||||
где - объем - того цилиндрического «столбика». Рис. 1.2. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В каждой частичной области |
выберем произвольно точку ( , ) |
, |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2, … , . Если «размеры» области |
|
малы́, то можно приближенно принять |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цилиндрический «столбик» за цилиндр с постоянной высотой |
|
= ( |
|
) |
= ( , |
). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пусть ∆ |
= ( ) - площадь фигуры . Тогда ≈ |
|
∙∆ |
= ( )∙∆ |
|
и |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
≈ ∑ |
|
( , )∙∆ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
«Малость размеров» области определяется величиной ее «диаметра» |
|
|
, где |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= { ( , ): , } – максимально возможное расстояние между точками |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этой области, а точнее: |
|
= { ( , ): , } – точная верхняя граница |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
расстояний между двумя произвольными точками области , |
= 1, 2, … , . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим буквой λ ранг разбиения области , т.е. λ = {1, 2, … , }. |
|
||||||||||||||||||||||
Тогда чем меньше значение λ, тем точнее приближенная формула для объема . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
В пределе при λ → 0 получим точную формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∑ |
|
|
( , ) |
∙ ∆ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ→ 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1.1.
Аналогично решаются и следующие задачи.
а) Вычисление массы неоднородной пластины (области) с известной поверхностной плотностью распределения массы ( , ):
= |
∑ |
( |
, |
)∙∆ |
λ→ 0 |
=1 |
|
|
|
б) Вычисление электрического заряда пластины (области) с известной поверхностной плотностью распределения заряда ( , ):
= |
∑ |
( |
, |
)∙∆ |
λ→ 0 |
=1 |
|
|
|
1.1.2. Понятие двойного интеграла
Пусть имеется функция = ( , ), заданная в области 2, где - замкнутая область, ограниченная гладкой (или кусочно-гладкой) кривой.
Выполним следующие действия.
1.Разбиение области на частичные области : = 1 2 … .
2.Выбор промежуточных точек: ( , ) , = 1, 2, … , .
3.Вычисление суммы: = ∑=1 ( , )∙∆ , где ∆ = ( ) – площадь частичной области , = 1, 2, … , .
Сумма называется интегральной суммой Римана функции ( , ) по области .
3
Заметим, что интегральная сумма зависит не только от значения , но и от
способа разбиения области на частичные области и от выбора промежуточных точек |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , |
) , = 1, 2, … , . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
– диаметр частичной области , = 1, 2, … , ; λ = { , … , |
|
} |
- ранг разбиения. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Определение 1.1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Число называется пределом интегральных сумм при λ → 0, если для > 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 |
такое, что для любого разбиения области с рангом разбиения |
λ < и при |
|||||||||
любом выборе промежуточных точек { |
} |
|
выполняется неравенство: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
− | < . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запись: = - означает, что при λ → 0 этот предел существует, он не |
|||||||||
|
|
|
|
λ → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и равен числу .
Замечание 1.2.
|
Условие: λ → 0 - не равносильно условию: → ∞; условие → ∞ - необходимое, но |
|||||||||||||||
не достаточное условие для того, чтобы λ → 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Для введенного здесь нового типа пределов справедливы все свойства и теоремы о |
|||||||||||||||
пределах, рассмотренные в предыдущих разделах математического анализа. |
|
|
||||||||||||||
Определение 1.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Конечный предел интегральных сумм |
при λ → 0 называется двойным |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегралом от функции ( , ) по области . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Обозначение: |
( , ) или: |
( ) . Таким образом, по определению |
|||||||||||||
имеем: ( , ) = , |
|
|
( ) = или: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
λ → 0 |
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( , ) = ∑ |
( |
, ) |
∙ ∆ |
, |
|
( ) = |
∑ |
( |
) ∙ ∆ |
. |
|||||
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция ( , ), для которой существует двойной интеграл, называется интегрируемой по области . Область называется областью интегрирования.
Пример 1.1.
|
0 = ∑=1 |
0∙∆ = ∑=1 |
0 = 0 = 0 |
|
0 = 0 |
. |
|
|
λ → 0 |
λ → 0 |
λ → 0 |
|
|
Геометрический смысл двойного интеграла.
Двойной интеграл: ( , ) , где ( , ) ≥ 0 ( , ) , равен объему цилиндрического тела T, ограниченного сверху поверхностью = ( , ), а снизу – областью на плоскости :
(T) = ( , ) .
Физический смысл двойного интеграла.
Двойной интеграл: ( , ) , где ( , ) − поверхностная плотность массы, распределенная по области равен массе всей области :
= ( , ) .
Двойной интеграл: ( , ) , где ( , ) − поверхностная плотность электрического заряда, распределенная по области равен заряду всей области :
= ( , ) .
4
1.1.3. Условия интегрируемости функции
Выясним условия (необходимые и достаточные) интегрируемости функций. Теорема 1.1 (необходимое условие интегрируемости).
Если функция ( ) интегрируема по области , то она ограничена в области .
Доказательство.
Пусть функция интегрируема, но не ограничена в области . Тогда при любом разбиении области на части - функция ( ) сохранила бы свойство неограниченности, хотя бы в одной из частичных областей .
В этом случае за счет выбора промежуточной точки можно сделать значение ( ), а значит, и значение интегральной суммы , сколь угодно большим.
Но тогда конечного предела существовать не может, т.е. функция ( ) будет неинтегрируемой. Это противоречит условию теоремы. Значит, функция должна быть
ограничена в области . Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Обратное утверждение не имеет места: есть ограниченные, но не интегрируемые |
||||||||||||||||||||||||
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствие 1.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Если функция ( ) не ограничена в области , то она и не интегрируема по этой |
||||||||||||||||||||||||
области. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Например, пусть = { ( , ): 2 |
+ 2 ≤ 1} - единичный круг на плоскости |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, . Здесь = { ( , ): 2 + 2 < 1} - открытый |
|||||||||||||||||||
и функция ( ) = { |
|
||||||||||||||||||||||||||
2 + 2−1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
единичный круг, а = { ( , ): 2 + 2 = 1} - единичная окружность. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Функция ( ) не ограничена в области , |
т.к. ( ) → ∞ при , → . |
|||||||||||||||||||||||
Следовательно, функция ( ) не интегрируема по области . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Для получения признаков (необходимых и достаточных условий) интегрируемости |
||||||||||||||||||||||||
функций введем новые понятия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Для произвольного разбиения { } |
области введем следующие обозначения: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= { ( ), }, |
|
|
= { ( ), }, |
|
|
= |
− |
|
, = 1, … , . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Очевидно, что |
|
≤ ( ) ≤ |
, |
= 1, … , . |
Величина |
|
называется |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
колебанием функции ( ) в частичной области , = 1, … , . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пусть ∆ |
= ( ) - площадь частичной области , = 1, … , . Тогда величины: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
∙∆ и = ∑ |
|
∙∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
называются интегральными суммами Дарбу́- соответственно нижней интегральной |
|||||||||||||||||||||||||||
суммой и верхней интегральной суммой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Очевидно, что для любого разбиения { |
} |
области и любого выбора точек |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
интегральная сумма Римана |
находится между значениями интегральных сумм |
|||||||||||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дарбу:
≤ ≤
Теорема 1.2 (основной признак интегрируемости).
Для того чтобы ограниченная функция ( ) была интегрируема по области ,
необходимо и достаточно, чтобы ( − ) = 0.
λ→0
Доказательство этой теоремы есть в работе [1].
5
Разность − можно выразить через колебания функции ( ):
− = ∑=1 ∙∆ − ∑=1 ∙∆ = ∑=1( − )∙∆ = ∑=1 ∙∆
В терминах колебаний функции ( ) основной признак интегрируемости можно сформулировать следующим образом.
Следствие 1.2 (основной признак интегрируемости).
Для того чтобы ограниченная функция ( ) была интегрируема по области , необходимо и достаточно, чтобы для > 0 > 0 такое, что для любого разбиения { }=1 области с рангом разбиения λ < и при любом выборе промежуточных точек { }=1 выполнялось неравенство: ∑=1 ∙∆ < .
1.1.4. Классы интегрируемых функций
Из основного признака интегрируемости можно установить классы функций, интегрируемых по заданной области.
Теорема 1.3.
Если функция ( ) непрерывна в области , то она и интегрируема по области .
Доказательство.
По условию теоремы функция ( ) непрерывна в ограниченной и замкнутой области . Следовательно, по теореме Вейерштрасса ([5], . . ) она ограничена в этой области, а по теореме Кантора ([5], . . ) она равномерно непрерывна в этой области.
Значит, для > 0 > 0 такое, что для любого разбиения области с рангом
разбиения λ < выполняется условие: |
< |
|
одновременно для всех = 1, … , . |
|
( ) |
||||
|
|
|
Тогда ∑ |
|
∙∆ |
< ∑ |
|
|
||||
|
||||
=1 |
|
|
=1 |
( ) |
|
|
|
|
∙∆ = ( ) ∑=1 ∆ = ( ) ∙( ) = .
Итак, для > 0 > 0 такое, что для любого разбиения области с рангом
разбиения λ < выполняется неравенство: ∑=1 ∙∆ < .
По Следствию 1.2 это означает, что функция ( ) интегрируема по области . Теорема доказана.
Оказывается, интегрируемость сохраняется и для класса ограниченных функций, непрерывных «почти всюду» в области интегрирования.
Теорема 1.4.
Если функция ( ) ограничена в области и непрерывна в области всюду за исключением конечного числа точек или конечного числа кривых, лежащих в этой области, то она интегрируема по области .
Доказательство этой теоремы есть в работе [1].
Замечание 1.3.
Интегрируемость функции и величина интеграла сохраняются, если произвольным образом изменить значения функции в конечном числе точек или на конечном числе кривых, лежащих в этой области. Это связано с тем, что площади всех кривых равны нулю, поэтому соответствующие слагаемые в интегральных суммах не влияют на общую сумму.
Пример 1.2.
Вычислить двойной интеграл по квадрату :
= { ( , ) 2: 0 ≤ ≤ 1; 0 ≤ ≤ 1} (рис. 1.3).
Решение.
Здесь ( , ) = - непрерывная функция, значит, она интегрируема по области .
Следовательно, существует конечный предел интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора промежуточных точек:
= |
= |
∑ |
|
∙∆ . |
|||||||
|
|
|
λ → 0 |
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Выберем удобное для нас разбиение |
|
|||||||||
области и набор промежуточных точек. |
|
||||||||||
|
Разобьем квадрат вертикальными и |
||||||||||
горизонтальными прямыми: |
|
|
|
|
|||||||
= |
|
, |
= |
|
, , = 1, … , на = 2 |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
1
− 1
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
3 |
|
− 1 |
|
|||||||||
… |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.3. Область интегрирования
в Примере 1.2
равных квадратных ячеек со сторонами |
1 |
|
(рис. 1.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Площади ∆ и диаметры этих ячеек имеют следующие значения: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, … , 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ = |
|
, |
|
= |
∙√2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В каждой ячейке выберем в качестве промежуточной точки одну из вершин, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
например, в правом верхнем углу: |
≡ |
( |
|
, |
|
) (рис. 1.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим интегральную сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
( )∙∆ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
( )∙ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
∑ |
|
(∑ |
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
1 |
|
∑ |
|
|
|
|
∙(∑ |
|
) = |
1 |
(∑ |
|
|
|
)∙(∑ |
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
1 |
|
|
( |
1 |
∑ |
|
|
|
)∙( |
1 |
∑ |
|
) = |
1 |
|
(1 + 2 + … + )2 = |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(1 + )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
∙ ) = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, значит: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ранг разбиения λ = ∙√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
λ → 0 → ∞. Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.4. Выбор |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + )2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
промежуточных точек |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Свойства двойного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходя из определения двойного интеграла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
∑ |
|
( )∆ |
, или |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = |
∑ |
|
( , |
)∆ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выведем основные его свойства.
1.2.1. Свойства, выраженные равенствами 1. Нормированность.
Двойной интеграл от единицы по заданной области равен площади этой области:
= ( ) или: = ( )
2. Линейность.
Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы по области . Тогда
7
а) постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
∙ ( ) = ∙ ( ) , = ;
б) двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов от этих функций:
( ( ) + ( )) = ( ) + ( ) .
Свойство линейности можно записать и в следующем виде:
|
(1 |
∙ ( ) + 2 |
∙ ( )) = 1∙ |
( ) + 2∙ |
( ) |
1, 2 = . |
|
|
|
|
|
|
|
3. Аддитивность.
Пусть функция ( ) интегрируема по области .
Если область интегрирования разбита на две области, то двойной интеграл по всей области равен сумме двойных интегралов по каждой из этих областей:
( ) = 1 ( ) + 2 ( ) ,
где = 1 2, 1 ∩ 2 = (или это пересечение состоит из конечного числа кривых).
Доказательство.
1. Нормированность.
= ∑ =1 1∙∆ = ∑ =1 ∆ = ( ) = ( ). |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
λ → 0 |
|
|
|
λ → 0 |
|
|
|
|
λ → 0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. Линейность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∙ ( ) = |
∑ |
|
∙( )∆ |
= ∙∑ |
( )∆ |
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= ∙ |
∑ |
|
( )∆ |
|
= ∙ |
( ) . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
( ( ) + ( )) = |
∑ |
|
( ( ) |
+ ( )) ∙ ∆ = |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
∑ |
|
( )∙∆ + |
|
∑ |
( )∙∆ |
|
= |
|
( ) + |
( ) . |
|||||||||||
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
λ → 0 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом установлено, что из интегрируемости функции ( ) следует интегрируемость функции ∙( ), где = , а из интегрируемости функций ( ) и ( ) следует интегрируемость функции ( ) + ( ).
3. Аддитивность.
Рассмотрим такое разбиение области на частичные области, чтобы линия пересечения 1 и 2 оказалась бы одной из линий разбиения области . Введем обозначения интегральных сумм Римана:
( ) = ∑ |
|
( )∙∆ |
- по области ; |
|||
=1 |
|
|
|
|
|
|
(1)( ) = |
∑ |
( )∙∆ - по области ; |
||||
1 |
|
=1 |
|
|
|
1 |
(2)( ) = |
∑ |
|
( |
)∙∆ |
- по области . |
|
2 |
|
= +1 |
|
|
2 |
Тогда имеем:
( ) = (1)(1) + (2)(2).
Переходя к пределу в этом равенстве при λ → 0, получим:
( ) = 1 ( ) + 2 ( ) .
1.2.2. Свойства, выраженные неравенствами
Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы по области .
1. Интегрирование неравенств.
8
Если ( ) ≥ ( ) , |
то и |
|
( ) ≥ |
( ) . |
|||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ≥ ( ) ( )∙∆ |
≥ ( )∙∆ |
(т.к. ∆ > 0) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
( )∙∆ |
≥ ∑ |
( )∙∆ |
|
|
|||
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
для любого разбиения области и любого выбора промежуточных точек { }=1. Переходя к пределу в последнем неравенстве при λ → 0, получим:
|
∑ |
( )∙∆ |
≥ |
∑ |
|
( )∙∆ |
( ) ≥ |
( ). |
|||
λ → 0 |
=1 |
|
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие 1.3. |
Если ( ) ≥ 0 |
, то и |
|
( ) ≥ 0. |
|
||||||
Действительно: |
( ) ≥ 0 = 0. |
|
|
|
|||||||
Следствие 1.4. |
Пусть ( ) ≥ 0 |
; тогда для любых областей 1, 2 |
|||||||||
справедливо утверждение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
( ) ≤ |
( ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
(т.е. с расширением области интегрирования двойной интеграл возрастает).
Действительно: 2 = 1 (2\1); 2\ 1 ( ) ≥ 0
2 ( ) = 1 ( ) + 2\ 1 ( ) ≥ 1 ( ) . Следствие 1.5. | ( ) | ≤ |( )|.
Действительно: −|( )| ≤ ( ) ≤ |( )| − |( )| ≤ ( ) ≤ |( )| | ( ) | ≤ |( )|.
2. Оценки двойного интеграла.
Если значения подынтегральной функции ( ) в области ограничены величинами и , то значение двойного интеграла ограничено величинами∙( ) и ∙( ), где ( ) - площадь области :
≤ ( ) ≤ ∙( ) ≤ ( ) ≤ ∙( ).
Действительно:
( ) ≥ ∙ = ∙ = ∙( );
( ) ≤ ∙ = ∙ = ∙( ).
Пример 1.3.
Оценить значение двойного интеграла:
= |
1 |
, где |
100 + 2 + 2 |
10
10
= { ( , ) 2: | | + | | ≤ 10}.
Решение.
Область - квадрат со стороной 10√2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Рис. 1.5. Область |
|
(рис. 1.5) ( ) = (10√2) |
= 200. |
||||||||||||
|
интегрирования в Примере 1.3 |
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||
≤ |
|
≤ |
( , ) |
|
|||||||||
102 |
100 + 2 + 2 |
|
|
||||||||||
|
100 |
|
|
||||||||||
|
1 |
∙200 ≤ ≤ |
1 |
∙200 |
1,96 ≤ ≤ 2. |
|
|||||||
102 |
|
|
|||||||||||
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1,96 ≤ ≤ 2.
9
1.2.3. Теоремы о среднем значении
Следствием доказанных свойств, выраженных равенствами и неравенствами, являются так называемые «теоремы о среднем».
Теорема 1.5.
Пусть функция ( ) интегрируема по области ;
= { ( ), }; = { ( ), }. Тогда [ ; ]:
( ) = ∙( ).
Доказательство.
Согласно оценкам двойного интеграла имеем:
∙( ) ≤ ( ) ≤ ∙( ) ≤ (1 )∙ ( ) ≤ .
Введем обозначение: = (1 )∙ ( ) ; тогда получим: ( ) = ∙( ),
причем ≤ ≤ . Теорема доказана.
Теорема 1.6.
Пусть функция ( ) непрерывна в области . Тогда 0 :
( ) = (0)∙( ).
Доказательство.
Согласно теоремам Вейерштрасса и Больцано-Коши ([4], . . ) функция, непрерывная в ограниченной замкнутой и связной области, принимает все промежуточные значения между наибольшим и наименьшим значениями функции.
По Теореме 1.5 имеем: ( ) = ∙( ), где [ ; ], причемнаименьшее значение, а − наибольшее значение функции ( ) в области .
Следовательно, 0 : (0) = . Тогда получаем:
( ) = ∙( ) = (0)∙( ).
Теорема доказана.
Число = (1 )∙ ( ) - называется интегральным средним значением
функции ( ) в области .
1.3. Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла ( , ) начинается с выяснения вида области . Мы будем различать области «правильные» и «неправильные».
1.3.1. Правильные области
Определение 1.3.
Криволинейная трапеция, ограниченная графиками функций = 1( ), = 2( ) (1( ) ≤ 2( ) [ ; ]) и прямыми = , = , называется областью, правильной в направлении оси .
Такие области характеризуются тем, что любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках (рис. 1.6).
Определение 1.4.
Криволинейная трапеция, ограниченная графиками функций = 1( ), = 2( ) (1( ) ≤ 2( ) [ ; ]) и прямыми = , = , называется областью, правильной
в направлении оси .
10
Такие области характеризуются тем, что любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках (рис. 1.7).
Y |
|
|
|
Y |
||
= 2 |
( ) |
|
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1( ) |
|||
|
|
|
|
|
||
|
= 1( ) |
|
|
= 2( ) |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||
|
X |
|||||
|
|
|
|
|
X |
|
Рис. 1.6. Область, правильная |
||||||
|
в направлении оси |
|
Рис. 1.7. Область, правильная |
|||
|
|
|
|
в направлении оси |
Область может быть правильной и в направлении оси и в направлении оси .
Если область не является правильной ни в каком направлении, то такую область будем |
||||
называть неправильной. |
|
|
|
|
Неправильную область, как правило, |
|
|
||
|
|
|
||
можно разбить на части так, что каждая |
|
3 |
|
|
из частей уже будет правильной в каком-либо |
1 |
4 |
|
|
направлении. Например, кольцо на рисунке 1.8 |
|
|||
|
|
|
||
- неправильная область, но ее можно разбить |
|
2 |
|
|
на 4 части так, что каждая из них уже будет |
|
|
||
|
|
|
||
правильной в направлении оси . |
|
|
|
|
Для правильных областей вычисление |
|
|
|
|
двойного интеграла сводится к вычислению |
Рис. 1.8. Разбиение неправильной |
|||
области на правильные |
||||
так называемых повторных интегралов, |
||||
|
|
|
||
т.е. двух обычных (определенных) интегралов, взятых в определенном порядке. |
|
1.3.2. Повторные интегралы
Пусть функция ( , ) интегрируема по области , где - правильная область в направлении оси , т.е. = { ( , ): 1( ) ≤ ≤ 2( ), [ ; ]}.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.7.
Если при любом фиксированном [ ; ] существует определенный интеграл
∫ 2( ) |
( , ) , то существует и повторный интеграл |
∫ |
(∫ 2( ) |
( , ) ) , который |
|||||
1( ) |
|
|
|
|
|
|
1( ) |
|
|
равен двойному интегралу: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
( , ) = ∫ |
(∫ 2( ) |
( , ) ) |
. |
|||
|
|
|
|
1( ) |
|
|
|
|
|
Доказательство.
Доказательство теоремы проведем для случая, когда функция ( , ) непрерывна в области . Тогда, как известно, двойной и повторный интеграл существуют; в этом случае надо доказать лишь их равенство.