Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг
.pdfкакой-нибудь точки А тела и направление скорости vs_другой точ
ки В этого тела (сравн. с § 56). Пусть vA и направление vB известны. Проведем тогда через точку А плоскость /, перпендикулярную
вектору vA (рис. 177). Как показано выше (см. рис. 176), мгновенно ось ОР должна лежать в этой плоскости. Но одновременно ось
Р
Рис. 176 |
Рис. 177 |
ОР должна лежать и в плоскости 2, |
проведенной через точку В |
перпендикулярно вектору v„. Следовательно, прямая, по которой пересекутся эти плоскости, и будет мгновенной осью вращения ОР. Теперь, определив расстояние 1г точки А от оси ОР, по формуле (76') найдем угловую скорость w тела в данный момент времени: (о=уЛ/А. После этого значение скорости vM любой точки М тела
находится по формуле (76'), а вектор vMбудет направлен перпенди кулярно плоскости ОМР.
В частном случае, когда известно, что скорость какой-то точки тела равна в данный момент времени нулю, прямая, проходящая через эту точку и неподвижную точку О тела, будет мгновенной осью вращения и расчет существенно упростится (см. задачу 72).
А н а л и т и ч е с к и скорость и определяют по ее проекциям на какие-ни
будь координатные оси. Найдем проекции вектора v на оси Охуг, жестко связанные с телом и движущиеся с ним (см. рис. 176); эти оси имеют то преимущество, что в них координаты х, у, г точки М будут величинами постоянными. Так как гк—х, Гу—У I /•,=*, то по известной формуле векторной алгебры
• I к
v = ш Х г=
х у г
Отсюда, разлагая определитель по элементам первой строки и учитывая, что
v=v^i-\-vyj+V;k и что, следовательно, коэффициенты при i, j, к в этом разложении должны равняться ил, vy, иг соответственно, получим
(ГТ)
151
Эти формулы, как и формулу (76), называют формулами Эйлера. Каждую из них можно тоже получить из предыдущей круговой перестановкой букв х, у, г (см. формулы (47) н рис. 90, б В § 28).
В частном случае формулы (77), конечно, справедливы и при вра щении тела вокруг неподвижной оси г. Так как при этом ш*=<оу=0 и о>г—(о, то для такого случая
i |
v „ = ( o x , vt =0. |
(77') |
Определим теперь ускорение точки М. Из равенства (76), диф |
||
ференцируя его по времени, найдем |
|
|
а = и = (шхГ) + (шх7). |
|
|
Так как ш=е, a r —v, |
то окончательно |
|
|
а = (ёхг) + (<охй). |
(78) |
Ускорение at = e X r |
называют еще вращательным, а ускорение |
|
а,=ш Х и — осестремительным ускорением точки М. |
Вектор а1 |
Направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор е (рис. 178), а по модулю al =ersln$=ehu где ht — расстоя ние от точки М_до вектора е. Вектор же а,, перпендикулярный одно
временно v и т, будет направлен вдоль МС (см. рис. 176), причем по модулю a 1=<Bwsin900=<o,A, так как v=a>h.
Заметим, что в отличие от результатов, полученных в § 51, здесь O i= e X r не будет вообще вектором касательного ускорения точки М (по_касательной направлен вектор v = a x F , а направление вектора
е х г будет вообще другим); следовательйо, и вектор шхо не будет вектором нормального ускорения точки М.
Задача 72. Найти скорости точек В и С конического катка (бегуна), если ско рость Vi центра А катка, движущегося по окружности радиуса ОА, известна (рис. 179). Каток при движении катятся без скольжения по неподвижной кониче ской поверхности К.
Р е ш е н и е . Каток движется вокруг неподвижной точки О. Так как его крчение по поверхности К происходит без скольжения, то скорости точек катка, лежащие в данный момент времени на линии 0В, равны нулю и, следовательно, ОВ является мгновенной осью вращения. Тогда (oAlt где ш — угловая ско-
152
рость катка при его повороте вокруг оси ОВ, а /4 — расстояние точки А от этой оси. Отсюда ш= vA/hv
Скорость vc точки С будет равна аЛа, где А.— расстояние точки С от оси ОВ. Так как в данном случае ht=2hlt то vc =2vA. Для точки В, лежащей на мгновен ной оси вращения, vg= О
§ 63. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по
отношению к системе отсчета О |
х (рис. 180). Установим вид |
уравнений, определяющих закон |
рассматриваемого движения. |
Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси Ax'^yfo, которые при движении тела будут переме щаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела в
системе отсчета |
будет известно, если будем знать положение |
полюса А , т. е. |
его координаты х1А у 1Л, г ^ , и положение тела по |
отношению к осям Ах^у^, определяемое, как и в случае, рассмот ренном в§ 60, углами Эйлера ф, г|>, 0 (см. рис. 172; на рис. 180 углы Эйлера не показаны,чтобы не затемнять чертеж). Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчета Ох^у^ в любой мо мент времени, имеют вид
* « л - Ы 0 . |
yiA = f*V). 2lA = ft (t)\ |
) |
|
ф = /« (0 . |
* = / . ( 0 . в = /.(/)• |
J |
; |
Установим теперь геометрическую картину рассматриваемого движения. Нетрудно видеть, что первые три из уравнений (79) опре деляют то движение, которое тело совершало бы при постоянных
углах ф, if, 0, т. е. при поступательном движении тела вместе с полюсом А. Последние же три уравнения определяют движение, которое происходило бы при постоянных -значениях координат *ia. У\а , а. т. е. когда точка А неподвижна. Но движение тела вокруг неподвижной точки, как установлено в § 60, слагается из элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения. Ог-
153
сюда заключаем, что в общем случае движение свободного твердого
тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно
выбранный полюс А со скоростью vA, и из серии элементарных пово
ротов с угловой скоростью со вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 181). Такой будет, например, кар тина движения любого непоступательного перемещающегося в воз духе тела: брошенного камня, самолета, проделывающего фигуры высшего пилотажа, артиллерийского снаряда и т. д. Наконец, анало гичной может быть картина движения и несвободного твердого тела при наличии соответствующих связей (см., например, в § 72 рис .207; в том же параграфе показано, как можно еще иначе представить геометрическую картину движения свободного твердого тела).
Основными кинематическими характеристиками движения яв
ляются скорость vA и ускорение аА полюса, определяющие скорость н ускорение поступательной части движения, а также угловая
скорость ш и угловое ускорение е вращения вокруг полюса. Зна чения этих величин в любой момент времени можно найти по ура внениям (79). Заметим, что если за полюс принять другую точку
тела, например точку В (см. рис. 180), то значения vB и ав окажутся
отличными т vA и аА (предполагается, что тело движется не посту пательно). Но если связанные с телом оси, проведенные из точки В (на рис. 180 не показаны), направить так же, как и в точке А, что можно сделать, то значения углов <р, гр, 0, а следовательно, и последние из уравнений (79) не изменятся. Поэтому и здесь, как ив случае плоского движения, вращательная часть движения тела, в
частности значения со и ¥, от выбора полюса не зависят. Движение свободного твердого тела может быть в частном случае
плоскопараллельным; при этом векторы со и е будут все время перпендикулярны плоскости, параллельно которой движется тело. _ С к о р о с т и и у с к о р е н и я т о ч е к т е л а . Скорость
vM любой точки М тела в рассматриваемом движении слагается, как и в случае плоскопараллельного движения (см. § 54 и рис. 147), из скорости vA полюса А и скорости vMA, которую точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А . При этом, так как движение тела вокруг полюса А происходит как движение вокруг неподвижной точки, то значение vMA определяется формулой (76),
где г —AM, т. е. |
___ |
|
Таким образом, |
vMa — а х AM. |
(80) |
|
|
|
+ |
или vM^ v A+ ( a x l M ) . |
(81) |
Справедливость этого результата доказывается так же, как в § 54. Аналогично для ускорения любой точки М тела найдем (см.
§58)
а м ~ а А + °МА> |
(82) |
154
где величина амл, т. е. ускорение, которое точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А, определяется равен-
ством (78), в котором только надо считать r —AM, a V= VMA—(O XAM-
Глава XIII
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
9 64. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ, ПЕРЕНОСНОЕ И АБСОЛЮТНОЕ ДВИЖЕНИЯ
До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при реше нии задач механики оказывается целесообразным (а иногда и не обходимым) рассматривать движе ние точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам от счета, из которых одна считается основной или условно неподвиж ной, а другая определенным образом движется по отношению к первой.
Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют со ставным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движу щегося парохода, можно считать совершающим по отношению к бе регу сложное движение, состоящее
из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (не подвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвиж ной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения, рассматриваемой в этой и следующей главах. Кроме того, результа ты этой теории используются в динамике для изучения относитель ного равновесия и относительного движения тел под действием сил.
Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета Охуг, которая в свою очередь как-то движется отно сительно другой системы отсчета Оххху хгь которую называем основ ной или условно неподвижной (рис. 182). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не по казанным. Введем следующие определения.
1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж ной системе отсчета (к осям Охуг), называется относительным двиясением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный
155
с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относи тельной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям
Охуг называется относительной скоростью (обозначается v01), а
ускорение — относительным ускорением (обозначается аот). Из определения следует, что при вычислении иот и аот можно движение осей Охуг во внимание не принимать (рассматривать их как непод вижные).
2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охуг (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отно шению к неподвижной системе Охххухгх, является для точки М пере
носным движением.
Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охуг точки т, с которой в данный мвмент времени совпадает движущаяся точка М , называется переносной скоростью точки М в этот момент
(обозначается |
ипер), а ускорение этой точки т — переносным уско |
||
рением точки |
М (обозначается |
апер). Таким |
образом, |
|
v n t v ~ v m ' |
а пер ~ а т' |
( ® ^ ) |
Если представить себе, что относительное движение точки про исходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охуг, то перенЬсной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М.
3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной система отсчета Охххухгх называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого двйжения называется абсолютной траекто
рией, скорость’— абсолютной скоростью (обозначается иаб) и уско
рение — абсолютным ускорением (обозначается а,в).
В приведенном выше примере движение шара относительно палу бы парохода будет относительным,- а скорость — относительной ско ростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар, будет в этот момент его пере носной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость — абсолютной ско ростью шара.
Для решения соответствующих задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и
абсолютными скоростями и ускорениями точки, к чему мы и перей дем.
f С5. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ
Рассмотрим сложное движение точки М. Пусть эта точка совер шает за промежуток времени Дt=Ktx—t вдоль траектории АВ отно
сительное перемещение, определяемое вектором ММ' (рис. 183, а).
156
Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями Охуг (на рисунке не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение AiBx. Одновременно та точка т кривой АВ, с которой в момент времени t совпадает точка М, совершит пере
носное перемещение т т 1= Ж т 1. В результате точка М придет в
положение Afi и совершит за время Дt абсолютное перемещение М М Х. Из векторного треугольника MmtM x имеем
М М Х= M m t + тгМ г.
Деля обе части этого равенства на At и переходя к пределу, получим
lim (MMjAl) — lim (MmjAt) -f lim (m^MjAt).
д/ -*• о |
д/-> о |
-*■о |
Но, по определению, |
|
|
lim |
(M Ml/Ai)=Htt, |
lim (M in jA ty= v„ep. |
Д< ■* 0 |
|
At -*■ 0 |
Что касается последнего слагаемого, то, так как |
при At |
О |
||||
кривая AxBi стремится к совпадению с кривой АВ, в пределе |
|
|||||
|
lim |
(m1M l/ A t) = lim |
(M M ' / A t ) ~ v „ . |
|
|
|
|
A(-»0 |
|
A t-* |
о |
|
|
В |
результате |
находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
vtf — v0T -|-ипср. |
|
(84) |
|
Направлены векторы vt6, |
оот, опер по касательным к соответствую |
|||||
щим |
траекториям |
(рис. |
183, б). |
|
о сложении |
|
Таким образом, |
мы доказали следующую теорему |
скоростей: при сложном двиясении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. По строенная на рис. 183, б фигура называется параллелограммом ско
ростей.
157
Если угол менаду векторами v0T и ипер равен а, то по модулю
Раб = |
+ «пер+ |
2t)0Tynepcos а. |
(84') |
Рассмотрим примеры |
решения |
задач. |
|
Задача 73. Точка М движется вдоль прямой ОА со скоростью и (рис. |
184), |
а сама прямая вращается в плоскости Охгуг вокруг центра Ос.угловой скоростью ш. Определить скорость точки М относительно осей Олод в зависимости от расстоя ния ОМ==-г.
Р е ш е н и е . Рассмотрим движение точки М как сложное, состоящее из относительного движения вдоль прямой ОА и движения вместе с этой прямой.
Тогда скорость и, направленная вдоль ОА, будет относительной скоростью точки. Вращательное движение прямой ОА вокруг центра О является для точки М пере
носным движением, а скорость той хочки т прямой ОА, с которой в данный момент
времени совпадает точка М , будет ее переносной скоростью р„ерТак как эта точ ка прямой движется по окружности радиуса Om=r, то по модулю скорость vacp=
= (ог и направлена перпендикулярно От. Строя на векторах и и ипер параллело грамм, найдем_абсолютную скорость у,й точки М по отношению к осям Oxj/i. Так как и и vnep взаимно перпендикулярны, то по модулю
и,б= Y uJ-fo)Va.
Задача 74. Рычажок ОМ самопишущего прибора образует в данный момент
времени угол а с горизонтальной плоскостью, а перо М имеет скорость v, направ ленную перпендикулярно ОМ (рис. 185). Барабан с бумагой вращается вокруг
вертикальной оси с угловой скоростью ш. Определить скорость и перемещения
прра по бумаге, если |
радиус барабана R . |
_ |
|
Р е ш е н и е . |
Нам известна абсолютная скорость |
пера о д —v. Скорость о |
|
можно рассматривать |
как геометрическую сумму скорости пера относительно |
||
бумаги . (это искомая |
скорость и) и переносной скорости и^ер. равной скорости |
||
той точки бумаги, |
которой в данный момент времени касается перо; по модулю |
||
и „ер= со/?. |
|
________ |
___________ |
На основании теоремы о сложении скоростей v=M+onep, откуда u= v+ (—vntp). Строя на векторах v и (—vntv)- параллелограмм, найдем искомую скорость и. Так как угол между v и (—о„ер) равен 90° —а, то по модулю
и= |Г |
+ |
158
Угол, который скорость и образует с направлением у„ер. можно теперь найти по теореме синусов.
Задача 75. В кривошипно-ползунном механизме (рис. 186) кривошип ОА длиной твращается с угловой скоростью to. Длина шатуна А В равна I. При дан ном угле <р определить скорость ползуна относительно кривошипа ОА. Найти так же абсолютную скорость ползуна.
Р е ш е н и е . Ползун движется поступательно и его скорость равна скорости точки В, принадлежащей одновременно шатуну А В. Следовательно, решение зада чи сводится к определению скорости точки В шатуна.
Относительное движение шатуна А В поотношению к кривошипу ОА представ ляет собой вращение вокруг шарнира А. Точка В при этом вращении описывает
окружность радиуса АВ\ следовательно, относительная скорость гот точки В по отношению к кривошипу направлена перпендикулярно АВ. Заметим еще, что
абсолютная скорость точки В направлена вдоль ВО.
Переносным для точки В является движение кривошипа ОА. Представим себе, что с кривошипом жестко связан треугольник ОАВ, вращающийся вместе с кри вошипом вокруг оси О с угловой скоростью (о (как на рис. 151 со стержнем AD был связан лист фанеры Л). Тогда скорость точки В треугольника ОАВ, совпадаю щая в данный момент времени с точкой В шатуна АВ, будет переносной скорсстьк)
v"nev точки В шатуна. Эта точка треугольника движется по окружности радиуса
ОВ. Следовательно, скорость |
направлена перпендикулярно ОВ и численно |
равна ипер=о)'ЛВ. Так как |
АВ— 1cos P + r cos <р, то чПер— <■>(/ cos P + r cos <р). |
Строим из векторов иот, t>nep и t',e соответствующий параллелограмм. Из не го видно, что
к 0т = ип е p/COS Р ИЛИ С'о т = £|) ( l + r COS ф /COS Р).
Исключим отсюда угол р. Из треугольника ОАВ находим, что / sin р =/■ sin <р.
Тогда cos р = У 1—(г®//!) sin* ф и окончательно значение искомой относительной скорости
|
|
) ' |
(* |
Для определения абсолютной скорости i',* точки В обратимся опять к парал |
|||
лелограмму скоростей. |
Из него uae= u0Tsin р. Учитывая, |
что sin P=(r sin ф)//, |
|
получим из равенства (а) для |
то же значение, которое другим путем было най |
||
дено в задаче 63 (см. § 57) и обозначено там vg. |
u,g=2<o / sin ф. |
||
В частном случае, |
когда |
г=1, получается oOI=2w I, |
Задача 78. Конец |
В горизонтального стержня АВ |
шарнирно соединен с |
|||
ползуном, |
скользящим |
вдоль |
прорези |
кулисы ОС и заставляющим последнюю |
|
вращаться |
вокруг оси |
О (рис. |
187). Расстояние оси О от стержня АВ равно h. |
||
Определить |
угловую скорость |
кулисы |
в зависимости |
от скорости v стержня и |
|
угла ф .' |
|
|
|
|
_ |
Р е ш е н и е . Нам известна абсолютная скорость ползуна, равная скорости v стержня. Эту скорость ползуна можно рассматривать как слагающуюся из отно
159
сительной скорости оот скольжения ползуна вдоль прорези кулисы и переносной скорости ипер, равной скорости той точки кулисы, с которой в данный момент времени совпадает ползун. Направления этих скоростей известны: скорость v0T направлена вдоль ОВ, скорость ипер— перпендикулярно ОВ. Тогда, разлагая за
данную скорость и по направлениям иох и t'nep, найдем эти скорости. Из парал лелограмма видно, что по модулю ипер= ь cos ф.
Но, с другой стороны, переносная скорость ontv=a>'OB—аЛ/cos ф, где ш — угловая скорость кулисы. Сравнивая эти два значения wnepi найдем угловую ско рость кулисы о>= (o/h) cos* ф.
{ вв. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)
Найдем зависимость между относительным, переносным и абсо лютным ускорениями точки. Из равенства (84) получим
- |
Ф£б _ |
< Й т |
| dt,"«P |
/ОСЧ |
*б~ |
d/ |
d/ |
d< ' |
' 8&' |
Производные здесь определяют изменение каждого из. векторов при абсолютном движении. Эти изменения слагаются в общем случае из изменений при относительном и при переносном движениях, что ниже будет непосредственно показано. Следовательно, если усло
виться изменения, которые векторы vox и ипер получают при отно сительном движении, отмечать индексом «1», а при переносном двиясении — индексом «2», то равенство (85) примет вид
Г |
(dt'or)*: , (d^or)l , (dt,nep)i |
, (<fonep)* |
/о сч |
a*«= —d T - + s r + — — |
+ —аг- * |
<86> |
Но по определению (см. § 64, п. 1) относительное ускорение
характеризует изменение относительной скорости только при относительном двиясении; движение осей Охуг, т. е. переносное движение при этом во внимание не принимается. Поэтому
- |
(< Й т )l |
(87) |
|
d/ |
|
|
|
В свою очередь, переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости только при переносном двиясении, так кака„ер=
= а т (см. § 64, п. 2), где т — точка, неизменно связанная с осями Охуг и, следовательно, получающая ускорение только при движе нии вместе с этими осями, т. е. при переносном движении. Поэтому
— |
(<^пер)* |
|
/о о ч |
®лер — |
л |
• |
( 8 8 ) |
В результате из равенства (86) получи»
” _~ |
I ~ |
I |
« S W , |
, |
(d»nep)i |
|
/o m |
— Дот |
а пер *1" |
f t |
4 " |
f t |
• |
(®“ ) |
160