Решение_AU_6916629
.pdfЗадание 1 |
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f x |
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a sin x, x |
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0; |
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Плотность распределения имеет вид |
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. Величины |
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0, x 0; |
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Y cos X 2, Z X 1 являются функциями от величины Х. Найти: |
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А) постоянную a |
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Б) функцию распределения величины Y |
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В) моменты EZ, DZ, cov X , Z |
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Решение |
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А) Параметр a найдем из условия |
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f (x)dx 1 a sin xdx a cos x 0 |
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a cos a cos 0 2a 1 a |
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2 |
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0 |
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0, x 0 |
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Значит, |
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sin x, 0 |
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f x |
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0, x |
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Б) Так как y (x) cos x 2 |
- это строго убывающая функция на 0; обратная функция |
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есть x arccos y x |
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, тогда плотность величины Y есть g y |
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y |
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g y |
2 sin arccos y |
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1 y2 |
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При этом y 0 cos 0 2 1, y cos 2 1 2 3 |
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Тогда, gY ( y) 2 |
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0, y |
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Найдем функцию распределения Y из соотношения FY y |
g t dt |
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При y 3 получаем FY y 0 |
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dt |
y 3 |
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При y 1 получаем FY y 1 |
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То есть, |
FY y |
y |
, 3 y 1 |
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1, y 1 |
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В) Найдем параметры величины Х
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EX |
xf (x)dx |
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x sin xdx ... |
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0 |
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u x |
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du dx |
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cos xdx x cos x sin x |
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x sin xdx |
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x cos x |
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dv |
sin xdx |
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v cos x |
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... |
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x cos x sin x 0 |
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cos sin |
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0 cos 0 sin 0 |
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2 |
2 |
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2 |
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f (x)dx |
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x2 sin xdx ... |
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du 2xdx |
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x2 sin xdx |
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x2 cos x 2x cos xdx x2 cos x 2 x cos xdx |
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dv sin xdx |
v cos x |
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u x |
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du dx |
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x |
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cos x 2 |
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cos x 2x sin x 2 cos x |
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x sin x |
sin xdx x |
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dv cos xdx |
v sin x |
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
... |
|
1 |
x2 cos x 2x sin x 2 cos x |
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1 |
2 cos 2 sin 2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
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0 |
|
2 |
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|||
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1 |
|
02 |
cos 0 0 sin 0 2 cos 0 |
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2 |
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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|
2 |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
DX MX |
2 |
MX |
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда, согласно свойствам математического ожидания и дисперсии получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
EZ E |
|
X 1 1 EX 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
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|
|
|
|
|
|
|
|||
DZ D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
DX DX |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
X 1 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cov X , Z cov X , X 1 E X X 1 EX E X 1 |
E X |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X 1 |
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||
EX 2 EX |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
Задание 2
Дана группированная выборка. Построить точечные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности, при надежности 0.95 построить соответствующие доверительные интервалы и, используя х2 - критерий Пирсона асимптотического уровня значимости а = 0.05, проверить гипотезу о нормальности оценок.
-3,029 |
-2,406 |
-1,783 |
-1,160 |
-0,537 |
0,087 |
0,710 |
1,333 |
1,956 |
2,580 |
-2,406 |
-1,783 |
-1,160 |
-0,537 |
0,087 |
0,710 |
1,333 |
1,956 |
2,580 |
3,203 |
3 |
9 |
20 |
32 |
43 |
45 |
28 |
13 |
5 |
2 |
Решение
Получим следующий интервальный ряд:
Номер |
|
Граница |
Середина |
Частота |
||
|
интервала |
|||||
интервала |
i |
интервала |
ni |
|||
xi |
xi 1 |
|||||
|
|
|
|
|||
1 |
|
-3,029 |
-2,406 |
-2,7175 |
1 |
|
2 |
|
-2,406 |
-1,783 |
-2,0945 |
5 |
|
3 |
|
-1,783 |
-1,16 |
-1,4715 |
6 |
|
4 |
|
-1,16 |
-0,537 |
-0,8485 |
16 |
|
5 |
|
-0,537 |
0,087 |
-0,225 |
37 |
|
6 |
|
0,087 |
0,71 |
0,3985 |
28 |
|
7 |
|
0,71 |
1,333 |
1,0215 |
44 |
|
8 |
|
1,333 |
1,956 |
1,6445 |
33 |
|
9 |
|
1,956 |
2,58 |
2,268 |
23 |
|
10 |
|
2,58 |
3,203 |
2,8915 |
7 |
Средняя выборочная:
|
|
|
|
2.7175 3 2.0945 9 1.4715 20 0.8485 32 0.225 43 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
10 |
|
0.3985 45 1.0215 28 1.6445 13 2.268 5 2.8915 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
xi ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.041 |
||||
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Составим таблицу |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
xi |
|
|
ni |
|
|
|
xi |
x 2 ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
-2,7175 |
|
|
3 |
|
|
|
21,489 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
-2,0945 |
|
|
9 |
|
|
|
37,947 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
-1,4715 |
|
|
20 |
|
|
|
40,920 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
-0,8485 |
|
|
32 |
|
|
|
20,860 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
-0,225 |
|
|
43 |
|
|
|
1,454 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
0,3985 |
|
|
45 |
|
|
|
8,697 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1,0215 |
|
|
28 |
|
|
|
31,617 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
1,6445 |
|
|
13 |
|
|
|
36,937 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
2,268 |
|
|
5 |
|
|
|
26,660 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
2,8915 |
|
|
2 |
|
|
|
17,201 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
243,781 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Выборочная дисперсия равна |
2 |
|
xi x 2 |
ni |
|
243.781 |
1.219 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Выборочное среднее квадратическое отклонение |
|
1.219 1.104 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Исправленная дисперсия равна |
S 2 |
n |
2 |
|
200 |
1.219 1.225 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
200 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Исправленное среднее квадратическое отклонение S |
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1.225 1.107 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e |
x a 2 |
|
Плотность нормального распределения записывается в виде |
f x |
|
|
|
2 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры a и 2 являются для нормального распределения мат. ожиданием и дисперсией соответственно, где S для генеральной совокупности Проверим, согласуется ли принимаемая гипотеза о нормальном распределении
генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерии Пирсона Составим следующую таблицу
|
Границы интервала |
|
|
|
Границы интервала |
|
||||||
|
xi |
xi 1 |
xi x |
xi 1 x |
zi |
|
xi x |
|
zi 1 |
|
xi 1 x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
-3,029 |
-2,406 |
-2,988 |
-2,365 |
|
-2,700 |
|
|
-2,137 |
|
||
2 |
-2,406 |
-1,783 |
-2,365 |
-1,742 |
|
-2,137 |
|
|
-1,574 |
|
||
3 |
-1,783 |
-1,160 |
-1,742 |
-1,119 |
|
-1,574 |
|
|
-1,011 |
|
||
4 |
-1,160 |
-0,537 |
-1,119 |
-0,496 |
|
-1,011 |
|
|
-0,448 |
|
||
5 |
-0,537 |
0,087 |
-0,496 |
0,128 |
|
-0,448 |
|
|
0,116 |
|
||
6 |
0,087 |
0,710 |
0,128 |
0,751 |
|
0,116 |
|
|
0,679 |
|
||
7 |
0,710 |
1,333 |
0,751 |
1,374 |
|
0,679 |
|
|
1,242 |
|
||
8 |
1,333 |
1,956 |
1,374 |
1,997 |
|
1,242 |
|
|
1,804 |
|
||
9 |
1,956 |
2,580 |
1,997 |
2,621 |
|
1,804 |
|
|
2,368 |
|
||
10 |
2,580 |
3,203 |
2,621 |
3,244 |
|
2,368 |
|
|
2,931 |
|
|
|
|
1 |
|
z |
x2 |
||
Найдем теоретические вероятности Pi zi 1 zi , где |
z |
|
|
e |
|
|
||
|
|
2 dx и |
||||||
|
|
|
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
теоретические частоты ni/=nPi=200Pi . Для этого составим расчетную таблицу, при этом,
так как нам надо охватить все значения zi |
от - до , поэтому начальное значение zi |
|||||||
будет равно , а последнее равно |
|
|
|
|
||||
|
|
Границы интервала |
|
|
Границы интервала |
|
||
|
|
zi |
zi 1 |
Ф zi |
Ф zi 1 |
Pi zi 1 zi |
ni/=200Pi |
|
|
1 |
-∞ |
-2,137 |
-0,500 |
-0,484 |
0,016 |
3,263 |
|
|
2 |
-2,137 |
-1,574 |
-0,484 |
-0,442 |
0,041 |
8,291 |
|
|
3 |
-1,574 |
-1,011 |
-0,442 |
-0,344 |
0,098 |
19,652 |
|
|
4 |
-1,011 |
-0,448 |
-0,344 |
-0,173 |
0,171 |
34,207 |
|
|
5 |
-0,448 |
0,116 |
-0,173 |
0,046 |
0,219 |
43,802 |
|
|
6 |
0,116 |
0,679 |
0,046 |
0,251 |
0,205 |
41,048 |
|
|
7 |
0,679 |
1,242 |
0,251 |
0,393 |
0,141 |
28,295 |
|
|
8 |
1,242 |
1,804 |
0,393 |
0,464 |
0,072 |
14,325 |
|
|
9 |
1,804 |
2,368 |
0,464 |
0,491 |
0,027 |
5,329 |
|
|
10 |
2,368 |
+∞ |
0,491 |
0,500 |
0,009 |
1,788 |
|
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона. Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:
|
i |
ni |
ni/ |
ni- ni/ |
|
(ni- ni/)2 |
(ni- ni/)2/ ni/ |
|
|
|
1 |
3 |
3,263 |
-0,263 |
|
0,069 |
|
0,021 |
|
|
2 |
9 |
8,291 |
0,709 |
|
0,502 |
|
0,061 |
|
|
3 |
20 |
19,652 |
0,348 |
|
0,121 |
|
0,006 |
|
|
4 |
32 |
34,207 |
-2,207 |
|
4,872 |
|
0,142 |
|
|
5 |
43 |
43,802 |
-0,802 |
|
0,643 |
|
0,015 |
|
|
6 |
45 |
41,048 |
3,952 |
|
15,621 |
|
0,381 |
|
|
7 |
28 |
28,295 |
-0,295 |
|
0,087 |
|
0,003 |
|
|
8 |
13 |
14,325 |
-1,325 |
|
1,755 |
|
0,122 |
|
|
9 |
5 |
5,329 |
-0,329 |
|
0,108 |
|
0,020 |
|
|
10 |
2 |
1,788 |
0,212 |
|
0,045 |
|
0,025 |
|
|
сумма |
|
|
|
|
|
2 |
набл 0.797 |
|
По таблице критических точек распределения 2 , |
по уровню значимости 0.05 и |
числу степеней свободы k 10 3 7 (s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области(по таблицам или при помощи математических
пакетов) 2 KP (0, 05;7) 14.07 . Так как 2набл 2кр - принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности на уровне значимости 0,05
Считая, что дисперсия элементов генеральной совокупности неизвестна определим доверительный интервал для оценки среднего арифметического значения генеральной совокупности при доверительной вероятности Р=1-0,05=0,95.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестной
дисперсии будет иметь вид x tn 1, |
S |
|
a x tn 1, |
S |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
||||
|
|
n |
|
Из таблицы распределения Стьюдента получаем t199,0.95 1.972 , тогда получаем
0.041 1.972 1.107 a 0.041 1.972 1.107 0.195 a 0.113
200 |
200 |
Определим доверительный интервал для оценки дисперсии генеральной совокупности при доверительной вероятности Р=1-0,05=0,95
Найдем доверительный интервал для |
n 1 S 2 |
2 |
n 1 S 2 |
, где значения |
2 берутся |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ,n 1 |
|
,n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
из таблицы значении функции 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0.95 1 0.95 0.05, 2 |
239.959, 2 |
161.826 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0.975,199 |
|
|
0.025,199 |
|
|
|
||
|
199 1.225 |
2 |
199 1.225 |
1.016 2 1.506 |
|
|
|
|
|||||||
239.959 |
161.826 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задание 3 |
|
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|
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|||
Плотность распределения случайной величины Х определена формулой |
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||||||||||||||
|
0, x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3x |
2 |
, 0 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
f x |
2 x |
2 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|||
|
|
3 |
|
|
,1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||
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|
||
|
|
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|
|
0, x 2 |
|
|
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|
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|
|
Определить начальные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс
Решение
Вычислим начальные моменты со 1-го по 4-ый
|
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|
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|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
k 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k 3 2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x f x dx |
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
MX |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
x |
|
|
dx |
2 |
x |
|
4 |
4x x |
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
xk 3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
4x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
k 2 |
dx |
|
3 1k 3 |
|
|
|
|
3 0k 3 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
k 2 |
|
|
1 |
|
|
k 3 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
k |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k 3 |
|
|
2 k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
k 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
k 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 k 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2k 1 |
4 |
|
|
|
2k 2 |
|
|
|
1 |
|
|
2k 3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 3 |
|
|
k 1 |
|
|
|
k 2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2k 1 |
4 |
|
|
|
2k 2 |
|
|
|
1 |
|
|
2k 3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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Найдем коэффициенты асимметрии и эксцесса |
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AX |
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