490
.pdf
|
|
|
|
6. Ангар мас форму параболjчно;-о |
|||
|
|
|
|
ниліндра довжиною 50 м.. шириною 20 м. і |
|||
|
|
|
|
висотою по uентру І Ом. Скі.1ьки rютрібно |
|||
|
|
|
|
матеріалу на його покrитгя. |
|||
|
|
3 |
у |
|
|
|
Розu'язок |
|
|
|
|
|
|
||
|
х |
|
|
|
|
Систему координат і ангар в ній |
|
|
|
|
розмішасмо так . як показано на рис. l 5 . |
||||
|
Рис.14 |
|
|
||||
|
|
|
Рівняння поверхні записусмо у внг:шді |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
z = -ах2 + Ь . Невідомі сталі а і в |
|
знахо.zп.шо із умови : |
|
|
|
|
|
|
|
Z( =О; у =О)= 10 |
Z (х ""10; у =О) =О. Тоді |
в =10 ,а =0.1 і рівняння поверхні |
|||||
z =10-0.1 х2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ГІ.1ощу поверхні знайдемо за формулою Р= fJ~!=-(z: )'~z; Jdxdy. |
||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
У нашому прикладі |
|
|
|
|
|
|
|
50 |
10 г----- |
HJ |
|
|
: |
ГІ ) |
=1479(т' ). |
Р=2fdy f-V1+0,04x 2 dx=20 J-v25+x'dx~2so(2.;5-.-/n2+,•5i |
|||||||
о |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. а) Обчис:шти криво~rініlіний інтсгр<Ll |
|||
|
|
|
|
Jydx, якшо АОВ є дуга нарабопи х ~;. |
|||
|
|
|
|
АОВ |
|
|
|
|
|
|
|
що з'єднує на п.1ощині точки А(-1,1) і В(І,1) |
|||
|
|
|
|
Користуючись в::астивостями |
|||
|
|
|
|
криволінійного інтеграла маємо (рис. J б}: |
|||
|
|
|
у |
Jydx = |
Jydx + Jydx. Д)таЛО описана |
||
|
|
|
АОВ |
|
.40 |
ОВ |
|
|
|
|
|
|
|||
10
х
Рис.15
криво.'Іінійний інтегріі:1 можливо обчислити
рівняннями у= --v'x, |
О :S х 51, а дуr·а ОВ - |
|||||
у =,r;, |
|
О ::<> х :S 1. Тоді |
|
|
||
|
О |
, - |
І |
_ |
4 |
Цей |
Jydx=f(-.Yx)dx+ f,'xdx=-. |
||||||
<ОВ |
І |
|
О |
|
3 |
|
. переходячи до означеного і.нтегра.1у відносно
1міної у . Мзсмо : d-.: = (у1 Jdy"" 2ydy |
f |
i·d• = |
І |
i·2 1·1/1· = |
2 }'З! І |
= |
4 . |
|
|
J |
--=---: |
|
3 |
||
|
АО~ |
, • |
• • |
3 ' 1 |
|
||
уб) Обчислити крино.1інійний інтегрю:
|
|
J=---2 |
2 |
|
.1с L • пшколо: х =а cost |
||
|
|
1·:d<-x2d1• |
|
. |
|||
|
|
--- · , |
|
|
|||
|
|
І. Х +_І" |
|
|
|
||
|
|
у =а sint |
і |
О.<:/ :S' п |
. Зна•Jсння х,у, |
||
|
|
dx= -а sint dt, dy =а cost dt підстаюясмо в |
|||||
|
х |
вира.~ під знаком івтегра.:-~а і знахо,111мо |
|||||
о |
ннзначсннй інте1·ра..~ |
оі;:шосно З'\1і11нсїї 1 : |
|||||
|
|||||||
А
Рис.16
]4
|
"J· [а' sіп' t(- аsin 1)- а' cos 1 t ·асо~ |
|
|
"J( |
1- |
cos |
2 |
|
\, |
|
|
|
"J(i |
. |
2 |
|
\_, . |
|
|
||||||||||||||
І= --- |
|
2 |
cos |
2 |
2 |
• |
, |
|
=а |
|
|
|
1 |
р cos 1 - |
а . |
- sm |
|
t |
!' пп І = |
|
|||||||||||||
|
" |
|
|
|
а |
|
1 + а |
|
s111 |
|
І |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
( |
|
|
cos |
31 . |
|
sin |
3 |
1 \ |
' |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а, со~t----SІІІІ+----)1 |
|
=--а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
\ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
), |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Доказати. що вираз ( х2 - |
.і) (xdx - уа)·) r |
1:ов1шй .1иференціал д<'якоі фуюшіі U(x,_1) |
і |
||||||||||||||||||||||||||||||
знайти її. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Запишемо вираз у виr.1Яді P(x.y)dx + Q(x,_1)dy .Д:ІЯ цього розкрисмо :.rужки і |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(1тrнмаємо. шо Р(х,у) =:к' - .\)'1 . Q(x,;) = у3 - ух2 . |
Вираз Pdx + Qdy бу;1е nоІJним |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|
копи виконується умова |
|
сР |
дQ |
. |
З |
|
|
|
|
|
|
. |
. . |
|
|||||||||
;:шф~рсrш~алом тою , |
|
-;- =--:;-- |
|
на.ходи-.ю частини: похщш |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с~· |
ех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПР |
=-· |
2 |
|
дQ |
|
|
2 |
|
\' |
|
|
|
|
|
в· |
ираз сповним ди |
ф |
|
. |
|
|
ф |
.. , . |
) |
|||||||||
- |
|
xi· , - =- |
|
х1· . . мова ІJнконvється. |
|
|
|
сrенщалом |
''\'ІІКШІ L·'(x.1•. |
||||||||||||||||||||||||
с:~· |
|
|
. |
|
дх |
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
.. |
Беремо на п:юшині |
ХОУ довільну 1очку М (Xo,J'o) та рухому точку M(X,J) (рис. І 7). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Невідому функцію U(x,y) знаходимо за допомогою слідуючого 1'.-ріволінійного інтегралу :
U(x,y)= fPdx+ Qdy+ fPdx+Q/(1• (а).
М 1М
Рівняння MoMf: У= Уа= const, тоді dy =О ;Хо <Х-;Х.
Рівняння ll/1111: Х = Х =cons! ,тоді |
dx =О; Уо < У <У .Вираз (а) приймає виг.1яд: |
|||||
[!(х,у)= f(x-'-xyz}u-+ !f(y'-yx')dy; |
|
|
|
|
||
|
|
|
~ . |
х4 |
.х2у: |
х: х;у~ |
|
|
U(.~. І)=-----------+ |
||||
|
|
|
. |
4 |
2 |
4 2 |
|
|
у |
х'у' |
J |
х2 у~ |
|
|
|
- · ---- · -- + -- = |
||||
|
|
4 |
2 |
4 |
2 |
|
о |
Хо |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Де |
r |
xi |
х~у~ у~ |
|
|
|
L = -- + ----- · |
||||
Рис.П |
|
|
|
4 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
9. lJбчииити !lотік векторно~ о 110~,.>1:
/•'= (і:-+:1·!: + 2 (І+:) ] + (2х +;:) k
через тр~ш;.'ТР:;,;, а. впрізаний із п.1ощшш Зх - 2у + 2z .{; ~О координатними н:ющинами в тому
напряМJС'_.. якиіі) гворюr з віссю ОУ госгрнй К)'Г .Обчис:шти дпверге1шію вектора та ротРр uьi~;1·0 нек1срнс)го nоля.
! Іотік "·',~Л,Jш знайти 3а форму.1010: П= JJР ·ііda
1:'
Зав,1ання :"І.О контро.1ьної роботи ."-:о7
1. За ,;щ::ншми :ювсрхня:vш побудувати ті;ю i його проекції на вк~вані коор;щнатні 11,1ощ1ши.
і.І. |
J ': {у - z=2, z=O, х2 + у2 =4} п.:1 .О)(У; |
1.2. І·': { х= + / |
=::. х2 .,. . / =2z-4} t1.1. ОХ.}' |
|||||
|
.., ... |
, |
.., |
|
|
,'-.-2-.-і |
||
1.3. |
/.-': { х· +у' |
=12 - 2;:, х· +у· =z} п.,1. ОХУ;1.4. /.-': {:: = \ |
х |
+ .І |
, ;: = 2} пл. ОХУ |
|||
1.5. i': { х2 + / |
= z, z = 3 - 2х} п.,1. ОХУ; |
І.б. i•: { х2 + у2= 9, z = бх, z =О} n.,1. ОХУ |
||||||
1.7. i·:{x2 + / |
=z2 , ! =2х} tи. ОХУ: |
1.8. 1--': {х2 + ;:2=З .х +y-rz = 5. z =О}пл. ОХУ |
||||||
1.9. i··: { х2 ·+ у2= 4, х2 + /=8 - і} пл. ОХУ; |
1.10. І':{/=8 -х2 |
- . / . z>O, ::2 = х2 + у2 /пл. ОХУ |
||||||
1.11. i·:r ...=,iZ1 |
- у' 'і.,. у2 |
=9. х = Ojn.,1. ОХ!'; І. І2. І':{х +у +:=З, х2 - /~І ,z=O} fl.l. YOZ |
||||||
І.ІЗ. 1--':{у =1 - z2.z =О ,у =х ,у=-х} tи. ОХУ; l.14.l--':{4z =Іб -х2 -/.:.=О, х2 +у2 =4} п.л. ОХУ |
|
1.15. V:( х2 + /=9 ,z = х2 .z =О} пл .ОХУ; |
1./6. i,:{ х2 + у2 =9 .z +у =З .z =О} пл. ОХУ |
1.17. i·: {х2 + 4z2 =4у, у =4} пл. ОХУ; |
І.І8. V:{z =І - х2, у =1 -х .z =О ,у =О} n.,'l.. ОХУ |
1.19. i':{z =/, х2 + /=9 .z =О} пл. ОХУ; |
1.20.1--':{у = х2 ,z =І -у ,z =О} пл. ОХУ |
1.21. |
i:r z=4 "/у 'z=O .х+у=4,х=О}пл. ОХУ; 1.22.1·~·(у2=8х,z =8 -х,z =О}пл. ОХУ |
||
1.23. |
J-':{z =5 -х, ;/ =5х ,z=O} пл. ОХУ; |
l.24Y:{z =4 -у, х2 =4у ,: =О} пл. ОХУ |
|
1.25. |
i·:rу2 + ! =2х 'х = 8} fL1. ОХ.}'; |
1.26. i·:{4z = ./ ,z =О, х2 + /=4} n.,1. ОХУ |
|
1.27. |
1--':{х =z, х=О,у =О, z = ~ZS-y2 ,у =4} п:1. ОГZ |
||
|
2 |
|
,1·--, |
1.28. V:{z=4- /,у= .::~__ |
,z=O} n.,1. ОХУ; |
1.29. І·':(у= \' z + х· ,у =9} п.,1. ОХУ |
|
|
2 |
|
|
І.ЗО. |
1--':{z =4 - /, х2 + / |
=/ ,z =О} пл. ОХ.}~ |
|
2. Змінити порядок інтегрування в по;двійному інтегралі .
|
І |
. х' |
|
|
2.1 |
fd~ |
1J f(.'c,y)dy |
|
|
|
Х ·-2 |
....z |
|
|
|
І |
о |
о |
|
2.2 |
J dy |
J HчJdx + Jtty |
J_ f(x,y)dx |
|
|
|
2) ' |
|
·, 2- )'l |
|
Q |
" |
|
|
|
fdx |
|
|
|
2.3 |
J./(x,_i')dy |
|
|
|
х•
І R
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
2.30
,J |
2·· vh2 |
|
|
|
|
\ |
|
4-- х~ |
|
|
|
fdx |
J |
f(x,y)dy + |
Idx |
|
J |
f(x,y)dy |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
,J |
|
|
|
|
|
|
І |
2-t· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jt[\· |
J f(x,y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
х' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І |
о |
|
|
|
' |
l• |
|
|
|
|
|
fdx |
J_ f(x,y)rfy |
+ Jdx |
J_ |
f(x,y)dy |
|||||||
|
- , .І: |
|
|
|
|
--..."1.-.r |
|
|
|
||
--'... |
MCCOf,1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fdx |
f |
j(:r:,y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
І |
х |
|
|
|
...·2 |
,2-х |
|
|
|
|
|
fdx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
J f(x,y)dy + |
ldx |
|
f |
|
f(.1:,y;dy |
||||||
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
," |
|
|
|
І |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jа:}' |
J f(x,y)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
І |
-1- > |
|
|
|
,·2 |
,2-_..1 |
|
|
|
||
,, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
fdy |
J f(x,y)dx |
+ |
Jdy |
|
f(x,y)dx |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І |
,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J f(x,;-Ja:v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
..... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І |
vX |
|
|
|
' |
, ·2 |
х |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f dx |
J f(x,yJti:v |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
Jrl:I: |
J |
f(.i.:,y)dy |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
о |
2-rl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fd'( |
J f(x,y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-І |
XJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
х |
|
|
|
|
' |
|
|
2 |
|
|
_ f |
|
|
|
|
|
_J |
|
||||
fdx |
f(x,y)dy + |
fdx |
|
f(x,y |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
~--· 25 - |
.r~ |
|
|
|
|
|
5- ' 25- .r~ |
|
||
3. Об•шс:шти |
інтеграли. |
|
|
|
||||||
З.1 |
г· |
|
|
" |
|
:i |
х |
3 |
~ |
|
JJ |
{12 х· |
у·+ 16 |
|
y)d-rdy |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2 |
Jj |
у |
1 |
(x+y)rLxti:}' |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з.з |
JJ |
{9 |
х1_/ |
|
1 |
y |
3 |
|||
|
+ 48 х |
/d'<dy |
||||||||
|
!J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4 |
п |
х/ dніу |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5 |
JJ |
(36 х |
2 |
- 96 |
х' |
у' )dxdy |
||||
/ |
||||||||||
|
||||||||||
3.6 |
D |
|
|
'--,- |
|
|
|
|
||
J--- |
|
|
|
|
|
|||||
|
Jd<d}' |
|
|
|
|
|
||||
|
"(у+ |
1у |
|
|
|
|
|
|||
2 |
,у = |
••J--;; |
|
D: {x=J ,y =х |
|||
D: {у=х ,у =х+З |
.х |
= 0,х=І} |
|
D:{x=J,y=.J; |
,y=-x;j |
||
D:{.}"; = х .х = ij |
|
|
|
D:{y= ~~.у=-х |
,х=І} |
||
|
|
3 |
|
D:{ у=/- х;, у=О} |
|
|
|
20
