M-051
.pdfб). Застосувавши теорему інтегрування зображення, знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) :
1. f (t) = |
e−2t |
sint |
; |
|
6. f (t) = |
sh2t |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. f (t) = |
sin3t sint |
; |
7. f (t) = |
sht |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
ch2t cht |
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|||||||||||
3. f (t) = |
|
; |
|
8. f (t) = |
|
|
2 |
; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
f (t) = |
|
|
cos2t −cost |
; 9. |
f (t) = |
sin2 t |
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
f (t) = |
1−e2t |
|
; |
|
|
|
10. |
f (t) = |
1−cost |
; |
|||||||||||||
|
|
tet |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
f (t) = |
e−2t sin2 t |
; |
|||
|
t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
12. |
f (t) = |
e−2t |
−e−3t |
; |
|
|
|
t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
13.f (t) = e2tt−1 ;
14.f (t) =1−te−t ;
15.f (t) =1−cost t e−t .
Завдання 5. Згідно оберненого перетворення Лапласа, знайти оригінали функції f(t) за заданими зображеннями F(p):
1. F( p) = |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
11. F( p) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
21. F( p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
( p −2)( p − |
1) |
|
|
|
|
|
p3 |
+ |
27 |
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
−4 p + |
20 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. F( p) = |
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
12. F( p) = |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
22. F( p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
( p −2)( p −1)2 |
|
|
|
p3 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
p2 |
+10 p + 41 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. F( p) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
13. F( p) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
23. F( p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
p +3 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
( p + 2)2 ( p +1) |
|
|
|
|
p3 +8 |
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
+ 2 p +10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. F( p) = |
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
14. F( p) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
24. F( p) = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
( p −2)2 ( p +3) |
|
|
|
|
p3 −1 |
|
|
|
|
|
p |
2 −4 p + 20 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. F( p) = |
|
|
p |
|
|
|
|
|
; |
15. F( p) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
25. F( p) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
( p2 |
+ 4)( p2 +1) |
|
|
p |
3 −8 |
|
|
|
|
|
p2 −4 p +13 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6. F( p) = |
|
|
p |
|
|
|
|
; |
16. F( p) = |
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
26. F( p) = |
|
|
|
p |
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||
( p2 +1)( p2 +9) |
p2 −4 p +8 |
|
|
|
p2 + 2 p +17 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. F( p) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
17. F( p) = |
|
|
p −2 |
|
|
; |
27. F( p) = |
|
|
p |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||
( p2 + 4)( p2 +1) |
p2 −4 p +13 |
p2 −2 p +3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. F( p) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
18. F( p) = |
|
|
|
3p +19 |
|
|
; 28. F( p) = |
|
|
p |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||
( p2 |
+ 2)( p2 +3) |
|
2 p2 +8 p +19 |
|
p2 −6 p + |
10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9. F( p) = |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
; |
19. F( p) = |
|
5 p − |
1 |
; |
|
|
|
29. F( p) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
( p2 |
+ 4)( p2 +1) |
|
|
p3 − |
1 |
|
|
|
|
p2 −3p +3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10. F( p) = |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
; 20. F( p) |
= |
|
p +1 |
; |
|
|
30. F( p) = |
|
|
p |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||
( p2 +5)( p2 +3) |
p2 |
+ |
2 p |
|
|
|
p2 −2 p − |
15 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
Завдання 6. Розв’язати, застосувавши перетворення Лапласа, наступні диференціальні рівняння при заданих початкових умовах :
1. |
x′′+4x′+4x = e−2t (cost +2sint); |
16. |
|
x′′−4x′+3x =t 2 +t; |
|||
|
′ |
|
=1; |
|
|
|
′ |
|
x(0) = −1, x (0) |
|
|
x(0) = 0, x (0) =1; |
|||
2. |
x′′+ x′ = 2t +1; |
|
|
17. |
|
x′′+2x′+ x =3 −t; |
|
|
′ |
= 0; |
|
|
|
′ |
|
|
x(0) =1, x (0) |
|
|
x(0) =1, x (0) = 0; |
|||
3. |
x′′−4x′ =3t; |
|
|
18. |
x′′−5x′+6x =t +1; |
||
|
′ |
= 0; |
|
|
|
′ |
|
|
x(0) =1, x (0) |
|
|
x(0) = 0, x (0) =1; |
|||
4. |
x′′+ x′ =t 2 +2t; |
|
19. |
x′′− x′−6x = 2t; |
|||
|
′ |
= 0; |
|
|
|
′ |
|
|
x(0) = 2, x (0) |
|
|
|
x(0) =1, x (0) = 0; |
||
5. |
x′′+2x′+ x = 2sint; |
20. |
|
x′′+3x′−4x = 2cost; |
|||
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
x(0) = 0, x (0) = 2; |
|
|
|
x(0) = 2, x (0) = 0; |
||
6. |
x′′+4x = e−2t cost; |
21. |
|
x′′−4x′+3x = 2t 2 +t; |
|||
|
′ |
|
=1; |
|
|
|
′ |
|
x(0) = −1, x (0) |
|
|
|
x(0) = 0, x (0) =1; |
||
7. |
x′′+2x′ = 2t +1; |
|
22. |
|
x′′+2x′ =3 +t; |
||
|
′ |
= −1; |
|
|
|
′ |
|
|
x(0) =1, x (0) |
|
|
|
x(0) = −1, x (0) =1; |
||
8. |
x′′− x′ =t +2; |
|
|
23. |
|
x′′−5x′ =3t +1; |
|
|
′ |
|
= 0; |
|
|
|
′ |
|
x(0) = −1, x (0) |
|
|
|
x(0) = 0, x (0) =1; |
||
9. |
x′′+ x′ =t 2 +t; |
|
|
24. |
|
x′′−3x′+2x = 2 +t; |
|
|
′ |
|
= 0; |
|
|
|
′ |
|
x(0) = −1, x (0) |
|
|
|
x(0) =1, x (0) = 0; |
||
10. |
x′′+2x′+ x = 2cost; |
25. |
|
x′′+2x′ = ch4t; |
|||
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
x(0) = 0, x (0) = 2; |
|
|
|
x(0) = x (0) = 0; |
||
11. |
x′′− x′ = e−2t sin 2t; |
26. |
|
x′′+ x = sht; |
|||
|
′ |
|
|
|
|
|
x(0) = x(0) = 0; |
|
x(0) = −1, x (0) =1; |
|
|
|
|||
12. |
x′′+2x′ = 2t −1; |
27. |
|
x′′+ x = cost; |
|||
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
x(0) = −1, x (0) =1; |
|
|
|
x(0) = x (0) = 0; |
||
13. |
x′′−2x′ =3t +1; |
28. |
|
x′′−4x = 4e2t ; |
|||
|
′ |
|
= 0; |
|
|
|
′ |
|
x(0) =1, x (0) |
|
|
|
x(0) = x (0) = 0; |
||
14. |
x′′+3x′ =t 2 +2t; |
29. |
x′′+2x′+ x = e2t ; |
||||
|
′ |
|
= 0; |
|
|
|
′ |
|
x(0) = 2, x (0) |
|
|
|
x(0) = 0, x (0) = −2; |
||
15. |
x′′+2x′+ x = 2sin 2t; |
30. |
x′′−4x = 2cos2t; |
||||
|
′ |
|
= 2; |
|
|
|
′ |
|
x(0) = 0, x (0) |
|
|
|
x(0) = x (0) = 0; |
32
Завдання 7. Знайти частковий розв’язок наступних систем диференціальних рівнянь за допомогою перетворення Лапласа:
1. |
x′ |
= y, |
|
|
|
|
|
|
|
x(0) |
= 0, y(0) |
=1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||
|
2x′+ y′ = 4t |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
y′ |
= x + y, |
|
|
|
|
|
x(0) |
=1, y(0) = 0. |
||||||||
|
′ |
− x′ = tet , |
|
||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
x′+ y = 0, |
|
|
|
|
|
|
x(0) = y(0) =1. |
|||||||||
|
′ |
= 2x + 2 y, |
|
||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
x′ |
+ 2 y = 3t, |
|
x(0) |
= 2, y(0) |
= 3. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y′−2x = 4, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
x′ |
= x − y, |
|
|
x(0) =1, y(0) = 0. |
||||||||||||
|
|
|
= x + y, |
|
|
||||||||||||
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
|
′ |
+ y |
′ |
= e |
t |
, |
|
|
x(0) = y(0) =1. |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y′ = 2x + y, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
x |
|
= 2 y +e |
|
, |
|
x(0) = y(0) = |
1; |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y′ = 2x + e−t , |
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
x′−2 y = 0, |
|
|
|
x(0) |
= y(0) = |
2. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2t, |
|
||||||||||
|
x′+ 2 y′ = |
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
x −3y = 0, |
|
|
|
|
|
x(0) = y(0) =1;. |
||||||||||
|
|
− y′ = sin t, |
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. |
x′ |
= x + y, |
|
|
|
x(0) = 0, y(0) =1. |
|||||||||||
|
|
|
= x − y, |
|
|
|
|||||||||||
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
x′ |
+ 2 y = 3t, |
|
x(0) |
= 2, y(0) |
= 3. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4, |
|
|
|||||||||
|
y′−2x = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
||
12. |
x + y +0.5x = e |
, x(0) = 0, y(0) =1. |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
x′+ y′− 2x = sin t, |
|
|||||||||||||||
13. |
x′− y′ = t, |
|
|
x(0) = 0, y(0) = 0.5. |
|||||||||||||
|
|
|
+ 2 y′ = |
0, |
|||||||||||||
|
x′ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
14. |
x′−3y = |
0, |
|
x(0) =1, y(0) |
= 0; |
||||||||||||
|
|
− y′ = sin t, |
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
15. |
|
x − y′ = t, |
|
|
|
|
x(0) |
= 0, y(0) |
= 0.5. |
||||||||
|
|
|
+ 2 y′ = |
0, |
|
||||||||||||
|
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
x′ = −2x −2 y, |
x(0) = y(0) =1. |
||||||||||||||||||
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y′ = −2x + y, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
, x(0) = 0, y(0) =1. |
||||||
17. x − 2x − y = e |
|||||||||||||||||||||
|
|
y′ = x + y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18. |
x′+ 4x − y = |
0, |
|
x(0) = 2, y(0) = 3. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|||||||
|
|
y′+ 2x + y = |
|
|
|
|
|||||||||||||||
19. |
x − y′ = t, |
|
|
x(0) |
|
= 0, y(0) = 0.5. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|||||||||||
|
|
x′+ 2 y′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
||||
20. x + y + |
0.5y = e |
, x(0) =1, y(0) = 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
x′+ y′− 2 y = sin t, |
|
|||||||||||||||||||
21. |
x′−3y = 0, |
|
x(0) |
|
=1, y(0) = 0. |
||||||||||||||||
|
− y′ = sin t, |
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
22. |
x′−3y = 0, |
|
x(0) |
|
=1, y(0) = 0. |
||||||||||||||||
|
− y′ = sin t, |
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
23. |
|
′ |
|
+ y |
′ |
= e |
t |
, |
x(0) = y(0) = 0. |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x′− y′ = t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
24. |
|
|
|
|
|
x′+ y = 0, |
|
|
|
x(0) = y(0) =1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y′−2x −2 y = 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
25. |
|
x |
′ |
+ y |
′ |
|
|
t |
, |
|
x(0) = y(0) = 0; |
||||||||||
|
|
|
= e |
|
|||||||||||||||||
|
2x′+ y′ = cost, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
26. |
|
x′−3y |
= 0, |
|
x(0) =1, y(0) = 0; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x − y′ = sin t, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
27. |
|
|
|
x + y − y = e |
, |
|
x(0) = y(0) = 0; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2x′+ y′+ 2 y = cos t, |
|||||||||||||||||||
28. |
|
x′−3y = 0, |
|
x(0) = y(0) = 0; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x − y′ = cost, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||
29. x − x − |
2 y = |
2e |
|
, |
|
x(0) = y(0) =1; |
|||||||||||||||
|
|
y′−2x − y = 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
30. |
|
x − y′ = 0, |
|
x(0) |
= y(0) = 0; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t, |
|
|||||||||||
|
|
x′+ 2 y′ |
|
|
|
|
|
|
|
33
Завдання 8. Знайти розв’язок наступних інтегральних рівнянь:
1. ∫x |
sh(x −t) y(t)dt =1−cos x. |
16. |
∫x |
e x−t sh(x −t) y(t)dt = |
1 |
(e2 x |
−1) − |
1 |
x. |
|
|
2 |
|||||||||
|
0 |
|
|
0 |
4 |
|
|
|
||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∫sin(x −t) y(t)dt = cos x. |
17. |
∫ |
x −t y(t)dt = x 2 x. |
|
|
|
|||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫x (x −t) 2 y(t)dt = x3 . |
18. |
y(x) = e−2 x +3∫x (x −t) 2 y(t)dt. |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
||
4. |
y(x) =1+ x cos x + ∫(x −t) y(t)dt. |
19. |
y(x) = x + ∫cos(x −t) y(t)dt. |
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
5. |
∫x |
ch(x −t) y(t)dt =1−sin x. |
20. |
y(x) = e2 x −∫x (x −t)e( x−t ) y(t)dt. |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
||
6. |
∫sh(x −t) y(t)dt =1+cos x. |
21. |
y(x) = sin x − ∫sh(x −t) y(t)dt. |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
7. |
∫x (x −t) y(t)dt = x 2 . |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
−cos 2x |
|
||
8. |
∫sh(x −t) y(t)dt = |
. |
||||
|
|
2 |
||||
|
0 |
|
|
|
||
9. |
y(x) = cos3x + ∫x ex−t y(t)dt. |
0
x
10. ∫sh(x −t) y(t)dt = sin 2 x.
0
22. |
y(x) = x3 + ∫x sin(x −t) y(t)dt. |
|
|
|
0 |
|
|
x |
23. |
∫ch(x −t) y(t)dt = sin 2 x. |
|
|
0 |
|
24. ∫x |
e x−t cos(x −t) y(t)dt = xe x . |
|
|
0 |
|
|
|
x |
25. |
y(x) = sin 2x − ∫e x−t y(t)dt. |
|
|
|
0 |
11. |
∫x |
sh(x −t) y(t)dt =1−cos x. |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
12. |
∫sh(x −t) y(t)dt = 2 sin 2 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
||||
13. |
∫x (x −t) sin(x −t) y(t)dt = sin 2 x. |
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
14. |
∫ |
(x −t)e x−t y(t)dt = |
e2 x − xe x − |
. |
|||||
|
2 |
||||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|||
15. |
∫x (x −t)sh(x −t) y(t)dt = xchx − shx. |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
26. |
y(x) =1+ ∫x cos(x −t) sin(x −t) y(t)dt. |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
27. |
y(x) = xe2 x |
−∫e2( x−t ) y(t)dt. |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
28. |
y(x) = sin x + ∫x cos(x −t) y(t)dt. |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
29. |
y(x) = e x |
+ ∫sin(x −t) y(t)dt. |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
30. |
y(x) = |
x 2 |
|
+ |
1 |
x (x −t) 2 y(t)dt. |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
∫0 |
34
Формули перетворень Лапласа для деяких функцій
№ |
|
|
Оригінал |
Зображення F(p) |
|
||||||||||||||||||||||||||
п/п |
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
С-const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
exp(at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
t n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
sin(at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
+ a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
cos(at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
+ a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5 |
|
|
|
sh(at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
− a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6 |
|
|
|
ch(at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7 |
|
exp(-at)sin(ωt) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
( p + a)2 |
+ω2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
8 |
|
exp(-at)cos(ωt) |
|
|
|
|
|
|
|
p + a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
( p + a)2 |
+ω2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
exp(-at)sh(ωt) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( p + a)2 |
−ω2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
exp(-at)ch(ωt) |
|
|
|
|
|
|
|
p + a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
( p + a)2 |
−ω2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
t n exp(at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
( p − a)n+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
t n f(t) |
|
|
(−1) |
n |
|
d n |
|
F( p) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dpn |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13 |
1 |
(sin at − at cos at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2a3 |
|
|
|
( p2 |
|
+ a2 )2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
p |
|||||||||
14 |
|
|
|
exp(−t |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
exp |
|
4 |
|
Erf |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
exp(−a |
t ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
t |
|
|
|
|
π p |
exp − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 p |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||
|
exp(−a t ), |
|
a > 0 |
2 |
π p3 |
|
exp |
4 p |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
№ |
Оригінал |
|
Зображення F(p) |
|||||||||||||||||
п/п |
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p −ln a |
|
|
|
|
|
||||||
18 |
ln t |
|
|
|
|
|
− |
1 |
ln( pe) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||||||||||
19 |
sin 2 (at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p( p2 + 4a2 ) |
|
|
||||||||||||||
20 |
cos2 (at) |
|
|
|
|
|
p2 + 2a2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
p( p2 |
+ 4a2 ) |
|
|
|||||||||||||
21 |
sh2(at) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p( p2 |
− 4a2 ) |
|
|
|
||||||||||||
22 |
ch2(at) |
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
− 2a2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
p( p2 |
− 4a2 ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
||
23 |
sin(ωt-φ0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
− |
|
|
0 |
p |
||||
|
p |
2 |
+ |
ω |
2 |
|
ω |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
||
24 |
cos(ωt-φ0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
− |
|
|
0 |
p |
||||
|
p |
2 |
+ |
ω |
2 |
|
ω |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Література
1.Овчинников П.П. Вища математика. Підручник .Ч.2. – К.: Техніка, 2000. – 792 с.
2.Вища математика: Збірник задач. Ч.2. Навчальний посібник під заг. ред.. П.П. Овчинникова. – К.: Техніка, 2003. – 376 с.
3.Вища математика. Практикум. В.Г. Кривуца, В.В. Барковський, Н.В. Барковська. –
К.: ЦУЛ, 2003. – 536 с.
37
Зміст
Розділ І. Інтегральне перетворення Лапласа. Загальні поняття та означення. …....4 Теореми операційного числення. ……………………………………….……...5
§1. Теорема лінійності зображення. ……………………………………………..5
§2. Теорема подібності …………………………………………………………..5
§3. Теорема запізнення.………………………………………………………….. 6
§4. Теорема зсуву (згасання). …………………………………………………….7
§4. Теореми диференціювання оригіналу і зображення. ……………………….8
§5. Теореми інтегрування оригіналу і зображення. ……………………………9
§6. Згортки функцій. ……………………………………………………………...11
§7. Зображення періодичних функцій. ……………………………………….…11
Розділ ІІ. Обернене перетворення Лапласа. ……………………………………...…. 12 Розділ ІІI. Застосування перетворення Лапласа. …………………………….…….. 16
§1. Знаходження розв’язків звичайних диференціальних рівнянь з
постійними коефіцієнтами. …………………………………………….……16
§2. Знаходження розв’язку системи звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. ……………………………………………….… 19
§3. Знаходження розв’язку інтегральних рівнянь операційним методом. ….…22
Розділ ІV. Домашні завдання. ………………………………………………………......25
Розділ V. Завдання до розрахункової роботи. ……………………………………..….30 Формули перетворення Лапласа для деяких функцій. ……………………….……..36
38
39
40