Частина 1
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 1.” |
||||||||
(a |
|
− |
λ |
2 |
)m |
2 |
+ a n |
2 |
|
= 0 |
|
− m |
2 |
|
+ 3n |
2 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вважаючи m2 = 1, отримаємо n2 = |
|
|||||||||||||||||||
a m |
|
+ (a |
|
|
−λ |
|
)n |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
2 |
22 |
2 |
2 |
|
|
3m2 |
−3n2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Власні вектори: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = 1+3 = 2; |
|
|
|
|
u |
2 |
|
= 1+ 1 = 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Знаходимо координати одиничних векторів нового базису. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e′ = |
|
1 |
;− |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
e′ |
|
|
3 |
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Маємо наступне рівняння лінії в новій системі координат: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
+ |
|
|
′ |
|
2 |
= 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x ) |
|
6( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Канонічне рівняння лінії в новій системі координат матиме вигляд: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x ) |
|
+ |
( y ) |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
3)2 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вигляду рівняння лінії другого порядку. Схемний зобразити графік. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 + 4 6xy + 7 y2 − 22 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Рішення: |
|
|
Складемо |
|
|
характеристичне |
|
|
рівняння |
квадратичної |
форми |
||||||||||||||||||||||||||||||||
5x2 |
+ 4 |
6xy + 7 y2 : при a |
|
= 5, a |
|
= 2 |
|
6, a |
22 |
|
= 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a11 −λ |
|
|
|
a12 |
|
= |
5 −λ |
|
2 6 |
|
= 35 −7λ |
−5λ + λ |
2 |
− 24 |
= λ |
2 |
−12λ +11 = 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
a12 |
|
|
|
a22 − |
λ |
2 6 7 −λ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Вирішивши це рівняння, отримаємо λ1 = 1, λ2 = 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдемо координати власних векторів: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(a |
|
− |
λ |
1 |
)m |
|
+ a n |
|
= 0 |
2m + |
6n |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
1 |
|
12 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
вважаючи m1 = 1, отримаємо n1 = − |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ (a22 −λ 1 )n1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
a12 m1 |
|
6m |
+3n |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||
(a |
|
|
|
|
|
)m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− |
λ |
2 |
2 |
+ a n |
2 |
|
= 0 |
|
−3m |
2 |
+ |
|
6n |
2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вважаючи m2 = 1, отримаємо n2 = |
||||||||||||||||||||
a m |
|
+ (a |
|
|
−λ |
|
)n |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||||||||
|
2 |
22 |
2 |
2 |
|
|
6m2 |
− 2n2 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Власні вектори: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 1.” |
|||
u = |
1+ 2 = 5 ; |
u |
2 |
= 1+ 3 |
= 5 |
|||||||||
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Знаходимо координати одиничних векторів нового базису. |
|
|||||||||||||
|
|
3 |
;− |
2 |
|
e′ |
|
2 |
; |
3 |
|
|||
e′ = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||
1 |
|
5 |
|
5 |
|
2 |
|
5 |
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Маємо наступне рівняння лінії в новій системі координат: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
′ 2 |
|
|
|
′ 2 |
= 22 |
|
|
|
|
||
|
|
(x ) |
|
+11( y ) |
|
|
|
|
|
|||||
Канонічне рівняння лінії в новій системі координат матиме вигляд: |
||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
2 |
|
′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x ) |
|
|
( y ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( 22 )2 |
+ ( 2)2 |
=1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного |
||||||||||||||
вигляду рівняння лінії другого порядку. Схемний зобразити графік. |
||||||||||||||
|
|
4ху + 3у2 + 16 = 0 |
|
|
|
|
Коефіцієнти: a11 = 0; |
a12 = 2; |
a22 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Характеристичне рівняння: |
|
0 −λ |
2 |
λ |
|
= −3λ + λ2 |
− 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
3 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коріння: λ1 = -1, λ2 = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для λ1 = -1 |
|
|
|
|
Для 2 = 4 |
|
|||||||||
1 m |
+ 2n = 0 |
|
|
|
|
− 4m |
|
+ |
2n |
|
= 0 |
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
2m1 |
+ 4n1 = 0 |
|
|
|
|
2m2 |
− n2 = 0 |
||||||||
m1 = 1; |
n1 = -0,5; |
|
|
|
m2 = 1; |
n2 = 2; |
|||||||||
u1 = (1; -0,5) |
|
|
|
|
u2 = (1; 2) |
72
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 1.” |
|||||
|
|
u |
1 |
= |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
= |
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1′ = u1 = ( |
2 |
;− |
1 |
) |
|
|
|
|
|
e2′ = u2 = ( |
1 |
; |
2 ) |
||||||
|
|
u1 |
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
5 |
|
5 |
|
Отримуємо: − x |
′2 |
+ 4y |
′2 |
= −16; |
|
x |
′2 |
− |
y |
′2 |
=1 |
-каноническое рівняння гіперболи. |
|||||||
|
|
|
16 |
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-15 |
|
-10 |
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
10 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введення в математичний аналіз. |
|
|
|
|
Числова послідовність.
Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то говорять, що задана послідовність
x1, х2 ., хn = {xn}
Загальний елемент послідовності є функцією від n. xn = f(n)
Таким чином послідовність може розглядатися як функція.
Задати послідовність можна різними способами – головне, щоб був вказаний спосіб отримання будь-якого члена послідовності.
Приклад. {xn} = {(-1)n} або {xn} = -1; 1; -1; 1; . {xn} = {sinn/2} або {xn} = 1; 0; 1; 0; .
Для послідовностей можна визначити наступні операції:
1) Множення послідовності на число m: m{xn}= {mxn}, тобто mx1, mx2 .
73
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 1.” |
|
2) |
Складання (віднімання) послідовностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}. |
||||||
3) |
Твір послідовностей: {xn} {yn} = {xnyn}. |
||||||
4) |
Приватне послідовностей: {xn } |
|
xn |
|
при {yn} ≠ 0. |
||
= |
|
||||||
|
|||||||
|
{yn } |
yn |
|
|
Обмежені і необмежені послідовності.
Визначення. Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо існує таке число М>0, що для будь-якого n вірна нерівність:
xn < M
тобто всі члени послідовності належать проміжку (-М; M).
Визначення. Послідовність {xn}називається обмеженою зверху, якщо для будьякого n існує таке число М, що
xn ≤ M.
Визначення. Послідовність {xn}називається обмеженою знизу, якщо для будьякого n існує таке число М, що
xn ≥ M
Приклад. {xn} = n – обмежена знизу {1, 2, 3 . }.
Визначення. Число а називається межею послідовності {xn}, якщо для будьякого позитивного >ε0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:
a −xn < ε.
Це записується: lim xn = а.
В цьому випадку говорять, що послідовність {xn}сходиться до а при n→∞.
Властивість: Якщо відкинути какоеабо число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться і інша.
Приклад. Довести, що межа послідовності lim (−n1)n = 0 .
Хай при n > N вірно |
0 |
− |
(−1)n |
< ε , тобто |
1 |
< ε . Це вірно приn > |
1 |
, таким чином, якщо |
|
n |
n |
ε |
|||||||
|
|
|
|
|
|
за N узяти цілу частина відε1 , то твердження, приведене вище, виконується.
Приклад. Показати, що при n послідовність 3, 2 12 , 2 13 , 2 14 ,..., 2 + 1n має межею число 2.
74
“Курс вищої математики. Частина 1.”
Разом: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2
Очевидно, що існує таке число n, що xn − 2 = 1n < ε , тобто lim {xn} = 2.
Теорема. Послідовність не може мати більш за одну межу.
Доказ. Припустимо, що послідовність {xn}має дві межі а і b, не рівні один одному.
|
|
|
|
|
|
xn → а; xn → b; а ≠ b. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тоді за визначенням існує таке число ε >0, що |
ε |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a − xn |
|
|
< |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − xn |
|
< |
ε |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ε |
|
ε |
|
Запишемо вираз: |
|
a −b |
|
= |
|
(a − xn ) + (xn −b) |
|
≤ |
|
a − xn |
|
+ |
|
xn −b |
|
< |
+ |
= ε |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
А оскільки ε- будь-яке число, то a −b = 0 , тобто а = b. Теорема доведена.
Теорема. Якщо xn→ → а, те xn → a .
Доказ. З xn→ → а витікає, що xn − a < ε . В той же час:
xn − a ≤ xn − a тобто xn − a < ε , тобто xn → a . Теорема доведена.
Теорема. Якщо xn→ → а, те послідовність {xn} обмежена.
Слід зазначити, що зворотне твердження невірне, тобто з обмеженості послідовності не виходить її збіжність.
|
|
|
+ |
1 |
|
, при четном n |
||
|
|
1 |
|
|
|
|||
n |
||||||||
|
|
Наприклад, последовательностьне xn = |
|
має межі, хоча |
||||
|
|
|
− |
1 |
, при нечетном n |
|||
|
|
2 |
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
xn |
|
≤ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Монотонні послідовності.
Визначення. 1) Якщо xn+1 > xn для всіх n, то послідовність зростає. 2)Если xn+1 ≥ xn для всіх n, то послідовність неубутна.
3)Если xn+1 < xn для всіх n, то послідовність убуває.
4)Если xn+1 ≤ xn для всіх n, то послідовність не зростає
Всі ці послідовності називаються монотонними. Зростаючі і убуваючі послідовності називаються строго монотонними.
75
“Курс вищої математики. Частина 1.”
Приклад. {xn} = 1/n – що убуває і обмежена {xn} = n – що зростає і необмежена.
|
Приклад. Довести, що послідовність {xn}= |
|
n |
|
|
|
що монотонна зростає. |
|
||||||||
|
2n +1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Знайдемо член послідовності {xn+1}= |
n +1 |
|
= |
n +1 |
|
|
|||||||||
|
2n + 2 + |
1 |
2n +3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Знайдемо знак різниці: {xn}-{xn+1}= |
n |
|
− |
n +1 |
= |
|
2n2 +3n − 2n2 − 2n − n −1 |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2n +1 |
2n +3 |
|
|
|
|
(2n +1)(2n +3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
< 0 оскільки nN, то знаменник позитивний при будь-якому n. |
|
|||||||||||||
(2n +1)(2n +3) |
|
Таким чином, xn+1 > xn. Послідовність зростає, що і слід було довести.
Приклад. З'ясувати є такою, що зростає або убуває послідовність
{xn} = 5nn .
Знайдемо |
xn+1 |
= |
n +1 |
. |
Знайдемо різницю xn+1 − xn = |
n +1 |
− |
n |
= |
n +1−5n |
= |
|
5 5n |
5n |
5 5n |
||||||||
|
|
|
5n+1 |
|
|
|
|
= 15−54nn оскільки nN, то 1 – 4n <0, тобто хn+1 < xn. Послідовність монотонно убуває.
Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з одного боку.
Теорема. Монотонна обмежена послідовність має межу.
Доказ. Розглянемо монотонну неубутну послідовність
х1 ≤ х2 ≤ х3 . хn xn+1 ≤ .
Ця послідовність обмежена зверху: xn ≤ M, де М – деяке число.
Оскільки будь-яке, обмежене зверху, числова множина має чітку верхню грань, то для будь-якого >ε0 існує таке число N, що xN > а -, де а – деяка верхня грань множини.
Оскільки {xn}- неубутна послідовність, то при N > n а - ε < xN ≤ xn xn > а - ε.
Звідси а - ε < xn < а + ε
-ε < xn – а < ε або xn - а, тобто lim xn = а.
Для решти монотонних послідовностей доказ аналогічний. Теорема доведена.
Число е.
76
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 1.” |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Розглянемо послідовність {xn} = 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Якщо послідовність {xn} монотонна і обмежена, то вона має кінцеву межу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По формулі бінома Ньютона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
n(n |
−1) |
|
1 |
2 |
|
|
n(n −1)(n |
− 2) 1 |
|
3 |
|
|
|
|
n(n −1)(n − 2)...[n − |
(n −1)] 1 |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
+ |
|
|
=1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
1 |
|
|
n |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
або, що те ж саме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
xn |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
=1 |
+1+ |
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
1 |
− |
|
1− |
|
|
... 1− |
|
|
|
|
|
|
+... |
+ |
|
|
1 |
− |
|
1− |
|
... 1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Покажемо, що послідовність {xn} – що зростає. Дійсно, запишемо вираз xn+1 і |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
порівняємо його з виразом xn: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
xn+1 = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
+... + |
1 |
|
− |
1 |
|
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1+1+ |
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
+... + |
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
... 1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
... |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
n |
+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
n +1 |
|
n +1 |
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
... 1 |
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
... 1− |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n +1 |
(n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+1)! |
|
n +1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кожен доданок у виразі xn+1 більше відповідного значення xn, і, крім того, у xn+1 додається ще один позитивний доданок. Таким чином, послідовність {xn} зростає.
Доведемо тепер, що при будь-якому n її члени не перевершують три: xn < 3.
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1− |
1 |
|
|
<1+ |
1 |
|
|
|
|||||
xn <1 |
+1+ |
+ |
+... + |
|
<1 |
+1+ |
+ |
+... + |
=1+ |
2n |
|
|
= 3 |
|||||||||||||||||
|
|
n! |
2 |
|
2n+1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
2! 3! |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
1− |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
геометр. прогрессия |
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отже, |
послідовність |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
- що монотонно зростає і обмежена зверху, тобто має |
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кінцеву межу. Цю межу прийнято позначати буквою е.
|
|
1 |
n |
||
lim 1 |
+ |
|
|
= e |
|
n |
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З нерівності 1+ |
|
< 3 виходить, що е ≤ 3. Відкидаючи в рівності для {xn} всі члени, |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
починаючи з четвертого, маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
n |
> 2 + |
1 |
|
− |
1 |
|
|||||
|
|
1+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
n |
2 |
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
переходячи до межі, отримуємо |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
e ≥ 2 + |
|
= 2,5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким чином, число е поміщене між числами 2,5 і 3. Якщо узяти більшу |
|||||||||||||||
кількість членів ряду, то можна отримати точнішу оцінку значення числа е. |
|||||||||||||||
Можна показати, що число е ірраціональне і його значення рівне 2,71828. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогічно можна показати, щоlim 1+ |
|
|
= e , |
розширивши вимоги до х до будь- |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
якого дійсного числа: Припустимо:
77
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 1.” |
||
|
|
|
|
|
1 |
≥ |
|
1 |
|
≥ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
x |
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1+ |
|
≥1+ |
|
|
≥1+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
|
|
x |
|
n |
+1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 n+1 |
|
|
|
|
|
|
1 x |
> |
|
+ |
1 |
|
n |
|||||||||
1 |
+ |
|
|
> |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
n +1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n+1 |
|
|
|
|
1 n |
|
e |
|
|
|
|
|
1 x |
|||||
Знайдемо lim 1 |
+ |
|
|
= e 1 = e; |
lim 1 |
+ |
|
|
|
= |
|
= e; |
|
lim 1 |
+ |
|
|
= e |
||
|
n |
|
1 |
x |
||||||||||||||||
n→∞ |
|
n |
|
|
n→∞ |
|
+1 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|||||
Число е є підставою натурального логарифма. |
|
|
e y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
loge x = ln x = y, |
т.е. |
= x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вище представлений графік функції у = lnx.
Зв'язок натурального і десяткового логарифмів.
Хай х = 10у, тоді lnx = ln10y, отже lnx = yln10
у = lg x = lnln10x = M ln x; ln x = M1 lg x , де М = 1/ln10 ≈ 0,43429.- модуль переходу.
Межа функції в точці.
уf(x)
A + ε
A
A - ε
0 |
а - ∆ а а + ∆ x |
Хай функція f(x) визначена в деякій околиці точки х = а (тобто в самій точці х = а функція може бути і не визначена)
Визначення. Число А називається межею функції f(x) при ха→, якщо для будьякого >ε0 існує таке число >∆0, що для всіх х таких, що
|
0 < x - а < ∆ |
вірна нерівність |
f(x) - A< ε. |
Те ж визначення може бути записане в іншому вигляді: Якщо а - ∆ < x < а +∆, x ≠ а, те вірне нерівність А - ε < f(x)< A + .
78
“Курс вищої математики. Частина 1.”
Запис межі функції в точці: lim f (x) = A
x→a
Визначення. Якщо f(x) → A1 при х → а тільки при x < а, те lim f (x) = A1 -
x→a−0
називається межею функції f(x) в точці х = а зліва, а якщо f(x) → A2 при х а тільки при
x > а, те lim f (x) = A2 називається межею функції f(x) в точці х = а справа.
x→a+0
f(x)
А2
А1
0 |
а |
x |
Приведене вище визначення відноситься до випадку, коли функція f(x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій скільки завгодно малій околиці цієї крапки.
Межі А1 і А2 називаються також односторонніми межами функції f(x) в точці х = а. Також говорять, що А – кінцева межа функції f(x).
Межа функції при прагненні аргументу до нескінченності.
Визначення. Число А називається межею функції f(x) при х→∞, якщо для будьякого числа >ε0 існує таке число М>0, що для всіх х, х>M виконується нерівність
A − f (x) < ε
При цьому передбачається, що функція f(x) визначена в околиці нескінченності.
Записують: lim f (x) = A.
x→∞
Графічно можна представити:
уу
A A
0 |
0 |
x |
x |
79
“Курс вищої математики. Частина 1.”
уу
A A
0 |
|
0 |
x x |
|
|
Аналогічно можна визначити межі |
lim |
f (x) = A для будь-якого х>M і |
|
x→+∞ |
|
lim f (x) = A для будь-якого х<M. |
|
|
x→−∞ |
|
|
Основні теореми про межі.
Теорема 1. limC = C , де З = const.
x→a
Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f(x) і g(x) мають кінцеві межі при ха.→
Теорема 2. lim( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) |
||
x→a |
x→a |
x→a |
Доведення цієї теореми буде приведено нижче.
Теорема 3. lim[ f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) |
||
x→a |
x→a |
x→a |
Слідство. limC f (x) = C lim f (x) |
|
|
x→a |
x→a |
|
Теорема 4. lim |
f (x) |
|
lim f (x) |
|
= |
x→a |
|||
g(x) |
lim g(x) |
|||
x→a |
|
|||
|
|
|
x→a |
при lim g(x) ≠ 0
x→a
Теорема 5. Якщо f(x) >0 поблизу точки х = а і, то А>0.
Аналогічно визначається знак межі при f(x)< 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0.
Теорема 6. Якщо g(x) ≤ f(x) ≤ u(x) поблизу точки х = а і, то і lim = A.
x→a
Визначення. Функція f(x) називається обмеженої поблизу точки х = а, якщо існує таке число М>0, що f(x)<M поблизу точки х = а.
Теорема 7. Якщо функція f(x) має кінцеву межу при ха, то вона обмежена поблизу точки х = а.
Доказ. Хайlim f (x) = A , тобто f (x) − A < ε , тоді
x→a
80