Хачьян_В5
.docx
В5– ЭКЗАМЕН
1) Критерий Левена: назначение!!!!!!, используемая статистика
Статистический анализ остатков
Критерий Левена предназначен для……
Обработка проводится с целью проверки воспроизводимости опытов, т.е.
неизменности условий эксперимента в n экспериментах, соответствующих
разным точкам пространства управляемых факторов. Проверка
воспроизводимости проводится как проверка однородности дисперсий
измерений отклика Y в разных точках пространства управляемых факторов.
Поскольку дисперсия помехи характеризует ее мощность, равенство дисперсий
говорит о неизменности условий эксперимента. Проверка может быть
выполнена с помощью параметрических критериев, в том числе критерий Левена.
При проверке однородности дисперсий проверяется нулевая гипотеза
H0: σY1=σY2=…=σYn
против альтернативной гипотезе H1:”хотя бы одна дисперсия отлична”
Для проверки гипотезы используются n выборок значений отклика
Yij , где i номер выборки, а j- номер измерения в выборке.
Критерии Левена использует анализ абсолютных отклонений наблюдаемых значений от соответствующих средних по группам повторных измерений. Статистика критериев имеет вид:
где m-количество сравниваемых выборок, ni (i=1,…,m)-объем i-ой выборки, Nобщее количество измерений, Zi − среднее (медиана) значений Zij по i-й выборке, Z - среднее (медиана) значений Zij по всем выборкам, а Zij может определяться одним из следующих способов:
1. Z =|y -y | ij ij i , где i y − среднее в i-й выборке для критерия Левена
Критерий Левене менее чувствителен к отклонениям анализируемых выборок от нормального закона, однако он оказывается и менее мощным.
КАК ПРИНИМАЕТСЯ РЕШЕНИЕ?
2) Остатки называют рассчитанными значениями ненаблюдаемой помехи измерения отклика. Этот вывод лежит в основе анализа остатков и определяет набор используемых приемов анализа
Статистический анализ остатков включает:
1. Проверку нулевой гипотезы о равенстве нулю математического ожидания ( H0 : me 0 при H1 : me 0 ). Если нулевая гипотеза отвергается, то возможно:
Ошибка в выборе структуры модели (наборе регрессоров),
Ошибки при оценивании параметров модели,
Коррелированность входных факторов,
Накопленные расчетные ошибки при многократном пересчете оценок параметров.
2. Проверку нулевой гипотезы о постоянстве дисперсии и равенстве ее дисперсии помехи ( H0 :2e 2 при H1 :2e 2 ).
Если нулевая гипотеза отвергается, то возможно:
Дисперсия измерения отклика не постоянна, т.е. опыты не воспроизводимы,
Ошибки в выборе структуры модели.
3. Проверку нулевой гипотезы о нормальности закона распределения. Отрицательное решение при проверке гипотезы ставит под сомнение результаты применения параметрических методов статистического анализа.
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ!!!
Графики остатков позволяют:
увидеть возможную зависимость данных от времени,
увидеть непостоянство дисперсии измерения отклика,
увидеть резко выделяющиеся наблюдения,
проверить выполнение исходных предположений о свойствах помехи,
проверить адекватность модели в целом и корректность отдельных компонент. Обычно исследуют следующие виды графиков остатков:
«общий график» в виде проекции значений остатков на ось абсцисс или гистограмму остатков,
линейный график остатков от номера измерения,
линейный график остатков от значений основных входных факторов,
линейный график остатков от предсказанных по модели значений отклика. Рассмотрим типичные примеры для линейных графиков остатков от значений входного фактора xi (рис. 3.1).
II.
Для приведенных исходных данных - измерений отклика по схеме однофакторного ДА при u=3 и m=3
- провести дисперсионный анализ общей суммы квадратов, т.е. разложение ее на составляющие с указанием соответствующих им параметров (число степеней свободы). Указать, как будут использованы эти суммы квадратов при проведении анализа значимости влияния входного фактора на отклик,
- провести проверку значимости влияния входного фактора на отклик.
|
U1 |
Y5 |
Наблюдение 1 |
2 |
37,14 |
Наблюдение 2 |
2 |
39,49 |
Наблюдение 3 |
2 |
38,72 |
Наблюдение 4 |
4 |
70,42 |
Наблюдение 5 |
4 |
69,82 |
Наблюдение 6 |
4 |
67,73 |
Наблюдение 7 |
6 |
90,56 |
Наблюдение 8 |
6 |
102,45 |
Наблюдение 9 |
6 |
100,77 |
_____________________________________________________________________________________________________________
ЧИТАЙТЕ ВНИМАТЕЛЬНО УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ
ПОЛЬЗУЙТЕСЬ КОНСПЕКТОМ, ТАМ ЕСТЬ ВСЕ ФОРМУЛЫ !!!
РАЗБЕРИТЕСЬ В МАТЕРИАЛЕ, ЗАДАЧА РЕШЕНА НЕВЕРНО
Решение:
Исходные данные запишем таблицу :
j/1 |
1 |
2 |
3 |
j= jl |
1 |
37,14 |
39,49 |
38,72 |
38,45 |
2 |
70,42 |
69,82 |
67,73 |
69,32 |
3 |
90,56 |
102,45 |
100,77 |
97,92 |
|
|
|
|
= j=68,56 |
1) провести дисперсионный анализ общей суммы квадратов, т.е. разложение
общей суммы квадратов на составляющие
S0=5938,4592 Sx=5307,5979 Sε=89,6717
2) провести расчет оценок дисперсий, используя S0, Sx , Sε и соответствующие значения параметров ν (число степеней свободы)
Суммы квадратов |
Число степеней свободы ν |
Оценки дисперсий |
2=5938,4592 |
ν=u*m-1=8 |
S02=5938,4592/8=742,3074 |
2=5307,5979 |
ν=m-1=2 |
S2=5307,5979/2=2653,7989 |
)2=89,6717 |
ν=u(m-1)=6 |
Sε2=89,6717/6=14,9452 |
3) провести расчет выборочного значения F-статистики для проверки значимости влияния входного фактора на отклик
Fвыб= S2/ Sε2=2653,7989/14,9452=177,5686
4) провести проверку значимости влияния входного фактора на отклик –
Критическое значение F-статистики. найденное из таблицы П3.1 (конспект лекций)
Fкр= F0,05; ν1=2;ν2=6=5,14;
Поскольку Fвыб> Fкр нулевая гипотеза о равенстве дисперсий должна быть отвергнута, а влияние входного фактора должно быть признано существенным.
5) Пояснить, влияние каких факторов оценивают рассчитанные оценки дисперсий и рассчитать оценку дисперсии фактора
А) Поскольку входной фактор оказывает значимое влияния на отклик, оценки дисперсий имеют следующий смысл:
- S02 - оценивает влияние как входного фактора, так и случайной помехи измерения отклика,
- Sε2 - оценивает влияние случайной помехи измерения отклика,
- S2 – оценивает влияние входного фактора и ослабленное действие помехи (случайного фактора).
Б) оценка дисперсии фактора
Sx2=1/m(S2 - Sε2)=1/3(2653,7989-14,9452)=2638,8537
6) Считая, что входной фактор оказывает значимое влияния на отклик, рассчитать оценку расхождения 𝛿c2 математических ожиданий серий
Dc2=u-1/um((Sx/u-1)- Sε2)=2/9((51,3697/2)-14,9452=2,3865