Функции / Предел и непрерывность / Пределы вида 0делить на 0 Примеры решения задач
.docВычисление пределов функций y = f(x), значение которых в точке при х = х0 определено f(x) = А не вызывает затруднений:
Затруднения возникают, когда в точке х = х0 при вычислении значения функции получаем неопределенности вида В этом случае для вычисления пределов нужно преобразовать исходную функцию, чтобы неопределенность исчезла, либо в результате преобразования привести исходную функцию к первому или второму замечательному пределу.
Пример 1.
Вычислить при
Решение. Так как определена в точке , то предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е.
;
Пример 2.
Вычислить при
Решение. В точке функция также определена. Тогда получим:
.
Пример 3.
Вычислить при .
Решение. При получили неопределенность . Для решения разложим числитель и знаменатель на множители, сократим дробь:
; ; ;
.
; ; ;
;
После сокращения дроби опять в предел подставляем и вычисляем предел.
Пример 4.
Найти предел:
Решение. .
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив и разделив дробь на выражение , сопряженное знаменателю, и применим формулу
.
Выделим множитель и сократим на него дробь.
Примечание.
Аналогично избавляются от иррациональности в числителе.
Пример 5.
Вычислить предел:
Решение. При непосредственной подставке х = –1 получаем неопределенность . Для ее исключения проведем преобразование функции:
При х = –1 знаменатель обращаться в ноль за счет сомножителя х + 1. разделим числитель на этот сомножитель:
В результате предел преобразуется к виду:
Пример 6.
Вычислить предел:
Решение. При непосредственной подставке х = –2 получаем неопределенность . Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель на сомножители. Так как и числитель, и знаменатель при х = 2 обращаются в ноль, то они содержат общий сомножитель х – 2. найдем вторые сомножители числителя и знаменателя:
|
|
В результате разложения на сомножители числителя и знаменателя предел преобразуется к виду:
При подстановке х = 2 опять получаем неопределенность . Еще раз разделим числитель и знаменатель на х – 2 и в результате получим:
Пример 7.
Вычислить предел:
Решение. При непосредственной подстановке х = 0 получаем неопределенность . Для ее устранения умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, на
В результате мы избавимся от иррациональности в числителе: