Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике
.pdfб) Если lhl = с, т. е. h = ±с, то ~2 + ~2 = О. Линия пересече-
ния (12.29) вырождается в две точки (О; О; с) и (О; О; -с). Плоскости z = с
и z = -с касаются данной поверхности.
в) Если lhl <с, то уравнения (12.29) можно переписать в виде:
у Как видно, линия пересечения есть
эллипс с полуосями (см. рис. 91)
х |
|
[h2 |
|
Рис. 91 |
Ь1 = ьу J. - --;?· |
|
|
При этом чем меньше lhl, тем больше полуоси ai и Ь1. При h =О они до стигают своих наибольших значений: а1 = а, Ь1 = Ь. Уравнения (12.29)
примут вид |
2 |
2 |
{ ~+~=1,
h=O.
Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверх ности (12.28) плоскостями х = h и у = h.
~Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить по-
верхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверх
ность (12.28) называется эллипсоидом. Величины а, Ь и с называются
полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид назы вается mрехосним; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если а = Ь = с,
то - в сферу х2 + у2 + z 2 = а2 •
Однополостный гиперболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
|
|
х2 |
у2 z2 |
|
|
|
2 |
+ ь2 - 2= 1· |
(12.30) |
|
|
а |
с |
|
Пересекая поверхность (12.30) плоскостью z = |
h, получим линию пе |
|||
ресечения, уравнения которой имеют вид |
|
|||
2 |
2 |
h2 |
|
|
{ ~+~ = 1+?", |
|
|
z = h,
110
Как видно, этой линией является эллипс с полуосями |
|
|
ai=an и b1 |
=ЬJ1+J:;;. |
|
Полуоси а1 и Ь1 достигают своего наименьше |
|
|
го значения при h = О: а1 = а, Ь1 = Ь. При |
|
|
возрастании lhl полуоси эллипса будут увели |
|
|
чиваться. |
|
|
Если пересекать поверхность (12.30) плос |
|
|
костями х = h или у = h, то в сечении полу |
у |
|
чим гиперболы. Найдем, например, линию пере |
|
|
сечения поверхности (12.30) с плоскостью Oyz, |
|
|
уравнение которой х = О. Эта линия пересече |
|
|
ния описывается уравнениями |
|
Рис. 92 |
{~ - ~ = |
|
|
1, |
|
х =о.
Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92).
~Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся
трубки. Поверхность (12.30) называется одноnолостнъ~м гипербо
лоидом.
Заме-чание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида
(12.30) проходят две прямые, лежащие на нем.
Двухпоnостный гиперболоид
Пусть поверхность задана уравнением
х2 у2 |
z2 |
= -1. |
(12.31) |
д + L2ь - |
-:2 |
ас
Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пере
сечения определяется уравнениями
2 |
2 |
h2 |
|
{ ~+~ = ~-1, |
(12.32) |
||
|
|
|
|
z= h. |
|
|
|
Огсюда следует, что:
а) если lhl |
<с, |
то плоскости z = h не пересекают поверхности; |
6) если lhl |
=с, |
то плоскости z =±с касаются данной поверхности |
соответственно в точках (О; О; с) и (О; О; -с).
в) если lhl >с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так
{ а2( *х2-1) + Ь2(~у2- 1) = 1' z = h.
111
Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ро
стом lh\.
Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Oyz
(х =О) и Oxz (у= О), получим в сечении гиперболы, уравнения кото
рых соответственно имеют вид |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
и |
х2 |
z2 |
|
~ -? = -1 |
а |
с |
= -1. |
||
|
|
|
-:z - |
-:2 |
~У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод се-
чения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяе
мую уравнением (12.31), как поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31)
называется двухnо.ttосmным гunepбo.ttov.дoм.
у
у
Рис. 93 |
|
Рис. 94 |
|
Эллиптический параболоид |
|
|
|
Исследуем поверхность, заданную уравнением |
|
||
2 |
2 |
|
(12.33) |
~ + 'IL. = 2z |
' |
||
р |
q |
|
где р > О, q > О. Рассечем поверхность (12.33) плоскостями z = h. В
сечении получим.линию, уравнения которой есть
|
2 |
2 |
|
{ |
~ + '/L. = 2h |
' |
|
р |
q |
z = h.
Если h <О, то плоскости z = h поверхности не пересекают; если h =О,
то плоскость z = О касается поверхности в точке (О; О; О); если h > О,
112
то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид
{ 2~h |
L |
+ 2qh = l, |
z= h.
Его полуоси возрастают с ростом h.
~При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями
2 |
. 2 |
Oxz и Oyz получатся соответственно параболы z = ~Р и z |
= ~- |
Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33), имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверх
ность (12.33) называется эллuпmu-ческим параболоидом.
Гиперболический параболоид
Исследуем поверхность, определяемую уравнением
1~-~~2z,I |
(12.34) |
|
где р > О, q > О. Рассечем поверхность (12.34) плоскостями z = h. |
|||
Получим кривую |
L |
|
|
{ 2~h |
= l, |
||
- 2qh |
z = h,
которая при всех значениях h 1- О является гиперболой. При h > О ее
действительные оси параллельны оси Ох; при h < О - параллельны
оси Оу; при h = О линия пересечения |
2 |
2 |
= О распадается на |
;f_ - |
~ |
||
|
р |
q |
Jp + ~ = О. При |
пару пересекающихся прямых jp - ~ = О и |
пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz
(у = h), будут получаться параболы
{х2 = 2p(z + ~;),
у= h,
ветви которых направлены вверх. При у О в сечении получается
парабола
{х2 = 2pz,
у=О
с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz.
Пересекая поверхность (12.34) плоскостями х = h, получим пара-
болы у2 = - 2q ( z - ~;), ветви которых направлены вниз.
~Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности:
она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) называется
гuперболи-ческим параболоидом.
113
у
х
х
Рис. 95 |
Рис. 96 |
Конус второго порядка |
|
Исследуем уравнение поверхности |
|
х2 у2 z2 |
(12.35) |
~ + ьz- ?"=о. |
Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z = h. Линия пересечения
2 2 h2
~ + JGЬ = 3, z = h. При h =О она вырождается в точку (О;О;О). При
ас
h =/=О в сечении будем получать эллипсы
х2 у2
{ a2h2 + ь2h2 = 1,
С2 С2
z = h.
Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании lhl. Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Oyz (х =О). Получится
линия |
{ 2 2 |
|
~-~=О, |
|
х =о, |
распадающаяся на две пересекающиеся прямые
~ - .: = о и ~ + .: = о.
ь с ь с
При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у= О получим линию
{~-~=О,
а с
у=О,
114
также распадающуюся на две пересекающиеся прямые
х |
z |
х |
z |
= о. |
- - - = о и |
- |
+ - |
||
а |
с |
а |
с |
|
~Поверхность, определяемая уравнением (12.35), называется кону
сом второго порядка, имеет вид, изображенный на рисунке 96.
~Поверхности, составленные из прямых линий, называются лuнell
-чamЪМtu. Такими поверхностями являются цилиндрические, ко
нические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гипербо лический параболоид.
Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1Лекции 13-221
§13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13.1.Основные понятия
~Понятие множества является одним из основных неопределяемых
понятий математики. Под мно-;нсеством понимают совокупность
(собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по
какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов ин
ститута, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравне
ния х2 + 2х + 2 =О, о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его эдемен
тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин ского алфавита А, В, ... , Х, У, ... , а их элементы - малыми буквами а,Ь, ... ,х,у, . ..
Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают х Е Х;
запись х Е Х или х ~ Х означает, что элемент х не принадлежит мно
жеству Х.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу стым, обозначается символом 121.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри ко торых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свой
ство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, запись А = {1, З, 15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, З и 15; запись А = {х : О :::; х :::; 2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное)
чисел, удовлетворяющих неравенству О :::; х ::::; 2.
~Множество А называется подмно-;нсесmвом множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В.
Символически это обозначают так А С В («А включено в В») или В :::> А («множество В включает в себя множество А»).
Говорят, что множества А и В равни или совпадают, и пишут
А = В, если А С В и В С А. Другими словами, множества, состоящие
из одних и тех же элементов, называются равными.
~Оббединением (или суммой) множеств А и В называется множе-
ство, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит
хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обо значают АUВ (или А+В). Кратко можно записать AUB = {х: х Е А или х ЕВ}.
116
~Пересе-чен:и.ем (или произведением) множеств А и В называется
множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад
лежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) мно
жеств обозначают АnВ (или А·В). Кратко можно записать AnB = {х:
хЕ А их ЕВ}.
Вдальнейшем для сокращения записей будем использовать неко
торuе простейшие логические символы:
а===} (3 - означает «из предложения а cлeiJyem предложение (З»;
а ~ (3 - «предложения а и (3 равносильны», т. е. из а следует f3 и из (3 следует а;
V - означает «для любого», «для всякого»;
3 - «существует», «найдется»;
: - «имеет место», «такое что»;
f-t - «соответствие».
Например: 1) запись Vx Е А: а означает: «для всякого элемента
х Е А имеет место предложение а»;
2) (х Е А U В) ~ (х Е А или х ЕВ); эта запись определяет
объединение множеств А и В.
13.2.Числовые множества.
Множество действительных чисел
Множества, элементами которых являются числа, называются 'Числов'Ыми. Примерами числовых множеств являются:
N = {1; 2; 3; ... ; п; ... } - множество натуральных чисел;
Z 0 = {О; 1; |
2; ... ; п; ... } - множество целых неотрицательных чи- |
|
сел; |
|
|
Z ={О; ±1; ±2; ... ; ±п; ... } - |
множество целых чисел; |
|
Q = { 1:;: : |
т Е Z, п Е N} - |
множество рациональных чисел. |
IR ---, множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение
N с Zo с Z с Q с Ж.
Множество IR содержит рациональные и иррациональные числа. Вся
кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью
или бесконечной периодической дробью. Так, ~ = 0,5 (= 0,500 ... ), i = 0,333 ... - рациональные числа.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ
ются иррационалънwми.
117
Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого
равен числу 2.
Q Допустим, что существует рациональное число, представленное не
сократимой дробью т, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:
п
(:) 2 = 2, т.е. m2 = 2n2 .
Отсюда следует, что m 2 (а значит, и m) - четное число, т. е. т = 2k.
Подставив т = 2k в равенство m 2 = 2n2 , получим 4k2 = 2n2 , т. е.
2k2 = п2• Отсюда следует, что число п - четное, т. е. п = 2l. Но то
гда дробь 1;: = ~7 сократима. Это противоречит допущению, что 1;:
дробь несократима. Следовательно, не существует рационального чи
сла, квадрат которого равен числу 2. |
8 |
Иррациональное число выражается бесконечной непериодической |
|
дробью. Так, J2 = 1,4142356 ... , 1Г = 3,1415926 ... - |
иррациональные |
числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множе ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать
IR = {х: х =а, а:10:2а:з .•. }, где а Е Z, O:i Е {О, 1, ... , 9}.
Множество IR действительных чисел обладает следующими свой
ствами.
1. Оно упор.ядо-ченное: для любых двух различных чисел а и Ь имеет
место одно из двух соотношений а < Ь либо Ь < а.
2. Множество IR плотное: между любыми двумя различными чи
слами а и Ь содержится бесконечное множество действительных чисел
х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а< х < Ь.
Так, если а < Ь, то одним из них является число а! Ь
а+Ь |
<Ь |
) |
. |
( а< Ь ==:::} 2а <а+ Ь и а+ Ь< 2Ь ==:::} 2а <а+ Ь<2Ь ==:::} а< - 2- |
|
3. Множество IR непрерьиное. Пусть множество IR разбито на два
непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содер жится только в одном классе и для каждой пары чисел а Е А и Ь Е В
выполнено неравенство а < Ь. Тогда (свойство непрерывности) суще
ствует единственное число с, удовлетворяющее неравенству а ~ с ~ Ь
('Va Е А, 'VЬ ЕВ). Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Чи сло с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда
в классе А нет наибольшего).
118
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однознач
ное соответствие между множеством всех действительных чисел и мно
жеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу х Е JR
соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, на оборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное)
действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят
«точка».
13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
Пусть а и Ь - действительные числа, причем а < Ь.
Числовыми промежутками (интервалами) называют подмноже
ства всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[а; Ь] = {х: |
а~ х ~ Ь} - |
отрезок (сегмент, замкнутый промежу- |
ток); |
а < х < Ь} - |
|
(а; Ь) = { х : |
интервал (открытый промежуток); |
|
[а;Ь)={х: а~х<Ь}; |
|
|
(а;Ь] = {х: |
а< х ~ Ь} - |
полуоткрытые интервалы (или полуот- |
крытые отрезки); |
|
|
(-оо;Ь] = {х: х ~ Ь}; |
(а,+оо) = {х: х ~а}; |
|
(-оо;Ь) = {х: х < Ь}; |
(а,+оо) = {х: х >а}; |
(-00,00) = {х: -оо < х < +оо} = JR - бесконечные интервалы (промежутки).
Числа а и Ь называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -оо и +оо не числа, это символическое
обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала О влево и вправо.
§Пусть х0 - любое действительное число (точка на числовой пря-
мой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (а; Ь), содержащий точку хо. В частности, интервал (хо -е,хо +е), где е >О,
называется е-окресmностью точки х0• Число х0 называется цент ром, а число е -- радиусом.
€€
9 Хо~+с: Х
Рис. 97
Если х Е (х0 -е;х0 + е), то выполняется неравенство хо - е < х < < хо+е, или, что тоже, jx-xol < е. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в е-окрестность точки хо (см. рис. 97).
119