§5. Показательные уравнения и
Неравенства. Логарифмы.
Логарифмические уравнения и
Неравенства
Показательная функция: , где .
Свойства показательной функции
1. Область определения: . 2. Область значений: . 3. При функция монотонно возрастает, а при – монотонно убывает. 4. График функции имеет вид
Логарифмом числа по основанию , называется число , для которого . .
Основные свойства логарифмов
1.
2. . 3. Основное логарифмическое тождество: , . 4. .
38
5. . 6. . 7. 8. , .
Логарифмическая функция: Свойства логарифмической функции
1. Область определения: . 2. Область значений: . 3. При функция монотонно возрастает, а при – монотонно убывает. 4. График функции имеет вид
Показательные уравнения Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только
39
тогда, когда равны их показатели.
1. .
2.
3. .
4. Уравнение вида , где , , , с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению
.
Логарифмические уравнения
1. Уравнение , где , равносильно уравнению . 2. 3.
Решение простейших показательных и логарифмических неравенств основано на свойствах монотонности показа- тельной и логарифмической функций:
при :
40
при :
Пример 1. Решить уравнение: .
Решение. Так как и , то исходное уравнение равносильно уравнению , откуда
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение.
Ответ: .
Пример 3. Решить уравнение: .
Решение. Разделив обе части исходного уравнения на ( при всех ), получим равносильное ему уравнение :
; .
41
Обозначив , , последнее уравнение запишем в виде
.
Корнями этого уравнения являются и . Учитывая, что положительное число, получим: .
Тогда: ; .
Ответ: .
Пример 4. Вычислить .
Решение. , . Поэтому .
Ответ: 1125.
Пример 5. Вычислить . Решение.
Ответ: 3. Пример 6. Вычислить .
42
Решение. ; . Следовательно, .
Ответ: – 4.
Пример 7. Решить уравнение:
Решение. Так как
, то исходное уравнение можно записать в виде:
. (1)
ОДЗ уравнения (1) : т. е. (2)
На ОДЗ (2) уравнение (1) равносильно уравнению Корнями последнего уравнения являются и , из которых входит в ОДЗ (2), а нет. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является число 2.
Ответ : .
43
Пример 8. Решить уравнение: . (3)
Решение. ОДЗ уравнения (3): .
Обозначим . Тогда
и уравнение (3) принимает вид: . Корни последнего уравнения: и . Так как , то .
Ответ: .
Пример 9. Найти сумму корней уравнения: .
Решение. ОДЗ уравнения: . Прологарифмируем обе части данного уравнения по основанию 10 : ; , т.е. . Обозначив , получим квадратное уравнение , корни которого – . . . Ответ: 110. Пример 10. Найти наименьшее целое значение , удовлет- воряющее неравенству . Решение. Поскольку , то данное не- равенство равносильно неравенству
. Вернемся к переменной : , откуда
44
. Наименьшее целое значение из этого интерва-ла равно .
Ответ: . Пример 11. Найти число целых решений неравенства .
Решение. Поскольку , , то данное неравенство равносильно неравенству . Полученный интервал содержит целые числа .
Ответ: 4.
Пример 12. Найти длину интервала решений неравенства: . (4)
Решение. ОДЗ неравенства (4): . (5) На ОДЗ неравенство (4) равносильно неравенству
. Решая последнее неравенство методом интервалов и учитывая ОДЗ (5) , получим, что решением не-
равенства (4) является интервал . Длина этого интер-
вала: .
Ответ: .
45
Пример 13. Найти длину интервала решений неравенства . Решение. ОДЗ неравенства: . Так как , то
исходное неравенство можно записать в виде
, откуда . Длина этого интервала: . Ответ: .
Пример 14. Найти область определения функции
.
Решение. Так как , то область определения данной функции состоит из , удовлетворяющих системе:
.
Ответ:
46
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Решить уравнение:
а) ; (Ответ: 10)
б) ; (Ответ: 1)
в) ; (Ответ: 5)
г) ; (Ответ: 1)
д) ; (Ответ: 1,5)
е) ; (Ответ: 2)
ж) (Ответ: )
2. Найти больший корень уравнения: а) ; (Ответ: 6)
б) . (Ответ: 3)
3. Найти наибольшее целое значение , удовлетворяющее не-
равенству: а) ; (Ответ: 3)
б) . (Ответ: –2)
4. Найти наименьшее целое значение , удовлетворяющее
неравенству а) ; (Ответ: 2)
б) ; (Ответ: – 2)
47
в) . (Ответ: 3)
5. Найти число целых решений неравенства . (Ответ: 8)
6. Вычислить: а) ; (Ответ: – 40)
б) ; (Ответ: 19)
в) ; (Ответ: 13)
г) ; (Ответ: 1)
д) ; (Ответ: 1)
е) . (Ответ: 4)
7. Решить уравнение: а) ; (Ответ: 3)
б) ; (Ответ: 1)
в) ; (Ответ: 50) г) ; (Ответ: )
д) . (Ответ: 4)
48
8. Найти сумму корней уравнения:
. (Ответ: 84)
9. Найти больший корень уравнения: а) ; (Ответ: 625)
б) . (Ответ: 64)
10. Найти наименьшее целое значение , удовлетворяющее
неравенству: а) ; (Ответ: 4)
б) . (Ответ: 2)
11. Найти сумму целых решений неравенства: а) ; (Ответ: 6)
б) ; (Ответ: 3)
в) ; (Ответ: –1)
г) . (Ответ: 76)
12. Найти наименьшее целое значение из области определения функции
. (Ответ: 512)
13. Найти число целых значений , принадлежащих области определения функции . (Ответ: 3)
49
14. Найти длину интервала решений неравенства: а) ; (Ответ: 3,25)
б) . (Ответ: 1,5)
15. Решить неравенство: .
(Ответ: )
16. Найти наименьшее целое решение неравенства:
. (Ответ: 3)
50