1 курс 2 семестр / Лекция 8
.pdfЛЕКЦИЯ 8.
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ, ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ, СВОЙСТВА, ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ.
Двойной интеграл в декартовых координатах
Рассмотрим геометрическую задачу, приводящую к понятию двойного интеграла
Пусть на замкнутой области D |
|
R² [область предполагаем |
|
ограниченной и измеримой по Жордану. Мы не будем давать определение измеримости по Жордану, так как эти тонкие моменты выходят за рамки нашего курса. Данные определения можно посмотреть, например, в
прекрасном учебнике Г.И.Архипов, В.А. Садовничий, В.Н.Чубариков
«Лекции по математическому анализу», часть IV. Простыми словами,
измеримость по Жордану области означает возможность найти ее площадь,
для кривой – длину, для пространственной области - объем] задана непрерывная функция z f (x; y), f (x; y) 0 для (x; y) D . В системе координат 0xyz функция z f (x; y) задаёт некоторую поверхность z f (x; y
Из каждой граничной точки области D восстанавливаем перпендикуляры к плоскости 0xy до пересечения с поверхностью z f (x; y) . При этом в пространстве R³ получаем объёмное цилиндрическое тело, у которого нижним основанием является область D, верхним – часть поверхности
z f (x; y) и боковая поверхность параллельна оси 0z. Такое тело будем называть цилиндроидом.
Ставим задачу: вычислить объём V этого цилиндроида (рис. 1).
С этой целью проведём следующие операции:
а) область D разделим на n частей (произвольно) – D1, D2, D3,...,Dn;
[на самом деле не совсем произвольно. Полученные области должны быть измеримыми по Жордану.]
)
.
б) обозначим площади каждой из этих частей |
S |
, S |
2 |
, S |
,..., S |
n |
; |
|||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
в) на каждой из частей разбиения области D выберем точку |
M |
(x |
|
; |
||||||
i |
|
i |
|
строим ряд цилиндрических «столбиков», имеющих основания Di
y ) |
и |
i |
и высоты
h f (M ) |
; |
|
i |
i |
г) вычислим объёмы полученных «столбиков»:
V f (x ; y ) S ; |
|||
i |
i |
i |
i |
д) в результате построено тело, состоящее из n «столбиков», приближенно равное объёму цилиндроида, который равен:
|
n |
|
n |
i |
i |
i |
|
V |
i |
|
|
|
|||
V |
|
f (x ; y ) S |
; |
||||
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
е) для повышения точности равенства:
V
n
Vi
i 1
будем уменьшать размеры
частей разбиения области D, увеличивая их количество, т.е. n , но при
условии стремления к нулю max |
S |
|||
i , стягивающегося в точку. Тогда можно |
||||
записать точное равенство: |
|
|||
|
|
|
n |
|
V |
lim |
|
f (xi ; yi ) Si ; |
|
|
n |
i 1 |
|
|
|
max S |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
i |
|
|
|
ж) этот предел и даёт объём V заданного цилиндроида.
Замечание: проще всего начать с рассмотрения случая, когда область D –
прямоугольная. И разбивать ее на прямоугольники меньшего размера. Когда для такой области все станет понятно, то можно переходить к рассмотрению общего случая.
Рис. 1
Определение двойного интеграла
n Определение. Сумма f (xi ; yi ) Si , построенная в разделе 1 пункт д)
i 1
называется интегральной суммой для функции |
f (x; y) на замкнутой области |
D. |
|
Определение. Двойным интегралом от функции f (x; y) по замкнутой |
|
|
|
|
n |
|
области D называется предел интегральной суммы f (xi ; yi ) Si |
при |
||||
|
|
|
|
i 1 |
|
условиях: |
|
|
|
||
а) n и |
max |
S |
|
||
i 0 (стягиваясь в точку); |
|
||||
б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на |
|||||
части [измеримые по Жордану], ни от выбора внутри этих частей точек |
|||||
M |
(x ; y ) D . |
|
|
||
i |
i |
i |
i |
|
|
Обозначение двойного интеграла:
|
|
|
|
|
n |
i |
i |
i |
|
f (x; y)dS |
f (x; y)dxdy |
|
|
|
|||||
|
|
lim |
|
f (x |
; y |
) S |
. |
||
D |
|
D |
|
n |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
max S 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Теорема (достаточное условие существования двойного интеграла)
Если в замкнутой области D |
|
R² функция |
|
двойной интеграл от этой функции по области
z f (x; y) |
непрерывна, то |
D существует.
Геометрический смысл двойного интеграла |
|
|
1) Если функция z f (x; y) непрерывна в области D |
|
R² и f(x;y) 0, то |
|
двойной интеграл от этой функции по области D равен объёму цилиндроида,
у которого нижнее основание – область D Oxy , верхнее – часть поверхности z f (x; y) и боковая поверхность параллельна 0z (рис. 1), т.е.
Vцилиндроида f (x; y)dxdy
D
Если f(x;y) 0 в области D, то двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела, находящегося под плоскостью Oxy (рис. 2), взятому со знаком «–» (–V). Если же функция f(x,y) в области D меняет знак, то двойной интеграл численно равен разности объемов цилиндрических тел,
находящихся над плоскостью Oxy и под ней (рис. 3), т.е.
f (x, y)dS V1 V2 .
D
Рис. 2
2) Если
по области D
S |
D |
|
|
dxdy . |
|
|
|||
|
|
|
D |
|
Рис. 3
f (x; y)
равен
1 |
для любых |
(x; |
|
|
площади области
y)
D:
D
, то двойной интеграл от z = 1
Основные свойства двойного интеграла
1) Пусть функция
z
f (x; y)
непрерывна в области D
R², причём
D
D
D1 D2 |
, тогда |
|
f (x; y)dS f (x; y)dS f (x; y)dS. |
||
|
D |
D |
|
1 |
2 |
Это свойство, как и последующие, можно доказать путём рассмотрения интегральных сумм и последующего перехода к пределам.
2) Постоянный множитель k выносится за знак двойного интеграла:
k f (x; y)dS k f (x; y)dS. |
|
D |
D |
3) Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных интегралов от этих функций:
|
1 |
|
2 |
(x; y) dS |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
f |
(x; y) f |
|
|
f |
(x; y)dS |
|
f |
|
(x; y)dS. |
|
D |
|
|
|
|
D |
|
|
D |
|
|
|
4) Если для двух непрерывных в области D функций f(x;y) и g(x;y)
выполняется неравенство f(x;y) g(x;y), то
f (x; y)dS D
g(x; y)dS D
.
Теорема (о среднем значении двойного интеграла)
|
Если функция z f (x; y) |
непрерывна в замкнутой области D, то внутри |
|||||
области D найдется, хотя бы одна точка |
0 |
0 |
|
, в которой выполняется |
|||
|
|
|
|
(x |
; y |
) |
|
равенство: |
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x; y)ds f (x0 ; y0 ) SD , |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
где |
S |
D – площадь области D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: По свойству непрерывной функции в замкнутой области,
функция z f (x; y) в области D достигает своих наименьшего (m) и
наибольшего (M) значений. Значит: m f(x;y) M для (x; y) D .
Тогда для всех (xi ; yi ) D можно записать
m f (xi ; yi ) M, где i 1; n.
Умножая последнее неравенство на
Si
0
, получим:
m Si f (xi ; yi ) Si M Si .
Суммируем все n неравенств ( i 1; n ):
n |
i |
|
n |
i i |
i |
|
n |
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m S |
|
|
f (x ; y ) S |
|
|
M S |
. |
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
Вынесем пределам при
n
m lim Si
n i 1 max Si 0
m и М за знаки сумм (как постоянные величины) и перейдём к
n и max Si 0 |
(стягиваясь в точку): |
|||
|
|
n |
|
n |
|
lim |
f (xi ; yi |
) Si M lim |
Si . |
|
n i 1 |
n i 1 |
||
|
max S 0 |
|
max S 0 |
|
|
i |
|
i |
|
Вспоминаем определение двойного интеграла, получаем двойное
неравенство:
m ds f (x; y)ds M ds |
||
D |
D |
D |
m SD f (x; y)ds M SD . |
||
|
D |
|
Разделим последнее неравенство на
SD
, где
SD
0
. Тогда
m |
f (x; y)ds |
|
D |
M . |
|
|
|
|
|
S |
|
|
D |
|
|
По свойству непрерывной функции в замкнутой области, функция |
|
z f (x; y) |
в области D принимает все промежуточные значения между |
наименьшим (m) и наибольшим (М) значениями. Следовательно, существует точка (x0 ; y0 ) D , в которой:
|
|
|
f (x; y)ds |
|
|
S D f (x; y)dS f (x0 ; y0 ) S D |
|
f (x0 |
; y |
0 ) |
D |
|
, |
умножаем на |
|
S |
|
||||||
|
|
|
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы о среднем значении двойного интеграла
Если |
f (x; y) 0 |
в области D, то объём цилиндроида V |
|
f (x; y)dS |
|
||||
|
|
|
D |
|
можно заменить на объём цилиндра,
нижним будет область D, а высота f (
у
x0
которого основаниями верхним и
0 |
. |
; y ) |
|