- •1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
- •2. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.
- •3. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица.
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5. Правило Крамера.
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •7. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось.
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы, длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении.
- •10. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •11. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •12. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •14. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
- •15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •17. Полярная система координат.
- •18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
- •19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.
- •20. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •21. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.
- •22. Предел функции в точке, односторонние пределы.
- •23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •24. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
- •26. Основные теоремы о пределах.
- •27. Первый и второй замечательный пределы.
- •28. Сравнение бесконечно малых функций.
- •29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.
- •30. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.
- •32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
- •33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •38. Правило Лопиталя.
- •39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.
- •40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.
- •41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.
- •42. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 2-х переменных. Исследование функции 2-х переменных на экстремум.
- •47. Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям.
- •48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства.
- •53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.
- •54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
- •56. Однородные ду 1-го порядка.
- •57. Линейные ду 1-го порядка.
- •59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.
- •60. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •61. Линейные неоднородные ду 2-го порядка. Теорема о структуре их общего решения.
- •62. Лнду 2-го порядку с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
Определителем 2-го порядка называется число, обозначаемое символом и вычисляемое по формуле . Матрица – таблица, а определитель – число. Определителем 3-го порядка называется число, обозначаемое символом и вычисляемое по формуле .
2. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.
Определителем n-го порядка называется число, обозначаемое символом и вычисляемое по формуле , где Aij (i=1,2,…,n) – определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного, вычеркиванием 1-го столбца и i-той строки и умножением полученного определителя на (-1)i+1 .
Если в матрице вычеркнуть i-тую строку и j-ый столбец, а расположение остальных элементов оставить прежним, то получится квадратная матрица (n-1)-го порядка. Ее определитель обозначается Mij и называется минором (M33=). Алгебраическим дополнением матрицы называется число Aij=(-1)i+j∙Mij. Теорема (о разложении определителя по столбцу (строке)) – Определитель матрицы А = сумме произведений всех элементов некоторого столбца (строки) на их алгебраическое дополнение.
3. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица.
1) Сложение матриц (одинаковое кол-во строк и столбцов) – A(aij)mxn + B(bij)mxn= C(cij)mxn, где Сij = aij + bij. 2) Произведение матрицы на число – A(aij)mxn * число α = αА = (α*aij)mxn. 3) Произведение матриц (кол-во элементов в строках матрицы А = кол-ву элементов в столбцах матрицы В), А(аij)mxn, B(bij)nxl – соответственные. А(аij)mxn * B(bij)nxl = С(сij)mxl, где cij = ai1*b1j + ai2*b2j +…+ ain*bnj (i=1,…,m; j=1,…,l). Элемент матрицы С, стоящей в i-той строке и j-том столбце = сумме произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В. Свойства умножения матриц – 1) Произведение матрицы может быть нуль матрицы, хотя оба сомножителя не являются нуль-матрицами . 2) Произведение матриц АВ ≠ ВА, но, если АВ=ВА, то матрицы А и В перестановочны (коммутируют). 3) Произведение матриц (АВ)*С=А*(ВС). 4) (А+В)*С=АС+ВС. 5) α(АВ)=А(αВ).
Если А () ≠ 0, то матрица называется невырожденной. Если А () = 0, то вырожденной (особой). Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если
АА-1 = А-1А = Е, где Е – единичная матрица. Теорема – Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был ≠ 0, то есть, чтобы матрица была невырожденной. (Док-во).
4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Числа аij называются коэффициентами системы уравнений. Числа b1, b2, bm называются свободными членами. Если bi=0 и i=1,…,m, то система однородная. Х1, х2, х3 – решения системы, если система обращается в тождество. Если имеет решение – совместная, наоборот – несовместная. Если только 1 решение – определенная, если >1 решений – неопределенная. Ранг матрицы – порядок самого старшего минора этой матрицы ≠ 0. Теорема – Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы А = рангу расширенной матрицы В. Если r(A)=r(B)= числу неизвестных, то система имеет только 1 решение. Если r(A)=r(B), но < числа неизвестных, то система имеет ∞ число решений.